单项选择题
1. 学校竞赛设一等奖、二等奖和三等奖，比例为1:3:8，获奖率为30%，已知10人获得一等奖，则参加竞赛的人数为（ ）
（A）
300
（B）
400
（C）
500
（D）
550
（E）
600
答案：B
解析：基本公式法 因为已知10人获得一等奖 根据比例可得二等奖和三等奖的人分别为30人和80人 所以总人数为10+30+80=120人 又因为获奖率为30% ∴ 总人数=120÷30%=400人 ∴ 选B
2. 为了解某公司员工的年龄结构，按男、女人数的比例进行了随机抽样，结果如下： 根据表中数据估计，该公司男员工的平均年龄与全体员工的平均年龄分别是（单位：岁）( )
（A）
32，30
（B）
32，29.5
（C）
32，27
（D）
30，27
（E）
29.5，27
答案：A
解析：基本公式法 根据题意可得 $\bar x$男$ = \frac{{23 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 41}}{9} = \frac{{288}}{9} = 32$ $\bar x$全$ = \frac{{288 + 23 + 25 + 27 + 27 + 29 + 31}}{{15}} = \frac{{450}}{{15}} = 30$ ∴ 选A
3. 某单位采取分段收费的方式收取网络流量（单位：GB）费用：每月流量20（含）以内免费，流量20到30（含）的每GB收费1元.流量30到40（含）的每GB收费3元，流量40以上的每GB收费5元，小王这个月用了45GB的流量，则他应该交费（ ）
（A）
45元
（B）
65元
（C）
75元
（D）
85元
（E）
135元
答案：B
解析：基本公式法 根据题干可得， 在20到30（含）处共收10元，在30到40（含）处共收30元，40以上共收25元 即应该交费25+30+10=65（元） ∴ 选B
4. 如图，圆O是三角形ABC的内切圆，若三角形ABC的面积与周长的大小之比为1:2，则圆O的面积为（ ）
（A）
$\pi $
（B）
$2\pi $
（C）
$3\pi $
（D）
$4\pi $
（E）
$5\pi $
答案：A
解析：基本公式法 连接OA,OB,OC 令三角形AOB，AOC，BOC分别为${S_1},{S_2},{S_3}$ 三角形周长为$c$,内切圆半径为$r$ 则有，${S_1} + {S_2} + {S_3} = AB \cdot r \cdot \frac{1}{2} + AC \cdot r \cdot \frac{1}{2} + BC \cdot r \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r = S$ 又因为题干说面积与周长的大小之比为1:2 ∴$\frac{s}{c} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = 2s$ ∴$r = \frac{{2s}}{c} = \frac{{2s}}{{2s}} = 1$ ∴$S = \pi {r^2} = \pi $ ∴选A
5. 设实数a,b满足$\left| {a - b} \right| = 2,\left| {{a^3} - {b^3}} \right| = 26$，则${a^2} + {b^2} = $（ ）
（A）
30
（B）
22
（C）
15
（D）
13
（E）
10
答案：E
解析：特值代入法 根据题意令$a = 3,b = 1$ ∴${a^2} + {b^2} = 10$ ∴选E
6. 有96位顾客至少购买了甲、乙、丙三种商品中的一种，经调查：同时购买了甲、乙两种商品的有8位，同时购买了甲、丙两种商品的有12位，同时购买了乙、丙两种商品的有6位，同时购买了三种商品的有2位，则仅购买一种商品的顾客有（ ）
（A）
70位
（B）
72位
（C）
74位
（D）
76位
（E）
82位
答案：C
解析：文氏图 由题干内容可得文氏图 ∴96-6-10-4-2=74 ∴选C
7. 如图，四边形${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$是平行四边形，${A_2},{B_2},{C_2},{D_2}$分别是${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$四边的中点，${A_3},{B_3},{C_3},{D_3}$分别是四边形${A_2},{B_2},{C_2},{D_2}$四边的中点，依次下去，得到四边形序列${A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\left( {n = 1,2,3, \cdots } \right)$.设${A_n}{B_n}{C_n}{D_n}$是面积为${S_n}$，且${S_1} = 12$，则${S_1} + {S_2} + {S_3} + \cdots = $（ ）
（A）
16
（B）
20
（C）
24
（D）
28
（E）
30
答案：C
解析：特殊技巧法 把四边形${A_1}{B_2}{C_3}{D_4}$看成正方形 因为每一个正方形的四个角都在上一个正方形的中点上，所以通过计算可得 面积之比为$\frac{1}{2}$,所以可得公比为$q = \frac{1}{2}$ 又因为${S_1} = {a_1} = 12$ 则${S_1} + {S_2} + {S_3} + \cdots = {S_n} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}} = 24$ （${S_n} = \frac{{{a_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}},q = \frac{1}{2}$ 时，${q^n} = 0$） ∴ 选C
8. 将6张不同的卡片2张一组分别装入甲、乙、丙3个袋中，若指定的两张卡片要在同一组，则不同的装法有（ ）
（A）
12种
（B）
18种
（C）
24种
（D）
30种
（E）
36种
答案：B
解析：基本公式法 指定卡片可以在甲、乙、丙任意一组，最后x3 剩余4张在2个袋中全排列 1，2在A 3，4在B 1，3在A 2，4在B 1，4在A 2，3在B 2，3在A 1，4在B 2，4在A 2，3在B 3，4在A 1，2在B 3×6=18 ∴ 选B
9. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先胜2盘者赢得比赛，已知每盘棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，若乙在第一盘获胜，则甲赢得比赛的概率为（ ）
（A）
0.144
（B）
0.288
（C）
0.36
（D）
0.4
（E）
0.6
答案：C
解析：基本公式法 根据题意可得甲只需连赢两盘就能赢得比赛 ∴P(甲赢）=0.6×0.6=0.36 ∴选C
10. 已知圆$C:{x^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = b$.若圆C在点$\left( {1,2} \right)$处的切线与y轴的交点为$\left( {0,3} \right)$，则$ab = $（ ）
（A）
-2
（B）
-1
（C）
0
（D）
1
（E）
2
答案：E
解析：基本公式法 由题干可知切线的斜率为k切$ = \frac{{3 - 2}}{{0 - 1}} = - 1$ 所以与切线垂直的过点（1,2）和$\left( {0,a} \right)$的直线的斜率k=1 所以通过斜率公式可得 $k = 1 = \frac{{2 - a}}{{1 - 0}}$ ∴$a = 1$ ∴${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = b$ 将$\left( {1,2} \right)$代入可得：1+1=b=2 ∴ $ab = 2$ ∴ 选E
11. 羽毛球有4名男运动员和3名女运动员，从中选出两对参加混双比赛，则不同的选派方式有（ ）
（A）
9种
（B）
18种
（C）
24种
（D）
36种
（E）
72种
答案：D
解析：基本公式法 由题干可知4男3女 $C_4^2C_3^2 \times 2 = \frac{{4 \times 3}}{2} \times 3 \times 2 = 36$ （4个男的出2个，3个女的出2个，互换） ∴ 选D
12. 从标号为1到10的10张卡片中随机抽取2张，它们的标号之和能被5整除的概率为（ ）
（A）
$\frac{1}{5}$
（B）
$\frac{1}{9}$
（C）
$\frac{2}{9}$
（D）
$\frac{2}{{15}}$
（E）
$\frac{7}{{45}}$
答案：A
解析：基本公式法 由题意可得（“M-W"模型） M=1+4，1+9，2+3，2+8，3+7，4+6，5+10，6+9，7+8 W= $C_{10}^2 = \frac{{10 \times 9}}{2} = 45$ $P = \frac{9}{{45}} = \frac{1}{5}$ ∴选A
13. 某单位为检查3个部门的工作，由这3个部门的主任和外聘的3名人员组成检查组，分2人一组检查工作，每组有1名外聘成员，规定本部门主任不能检查本部门，则不同的安排方式有（ ）
（A）
6种
（B）
8种
（C）
12种
（D）
18种
（E）
36种
答案：C
解析：基本公式法 主任有两种，外聘人员$A_3^3$ ∴$2A_3^3 = 12$ ∴ 选C
14. 如图，圆柱体的底面半径为2，高为3，垂直于底面的平面截圆柱体所得截面为矩形ABCD.若弦AB所对的圆心角是$\frac{\pi }{3}$，则截掉部分（较小部分）的体积为（ ）
（A）
${\rm{\pi }} - 3$
（B）
$2{\rm{\pi }} - 6$
（C）
${\rm{\pi }} - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
（D）
$2{\rm{\pi }} - 3\sqrt 3 $
（E）
${\rm{\pi }} - \sqrt 3 $
答案：D
解析：基本公式法 由题意可得 截掉部分的体积=（以CD为弧线的扇形面积-以CD为底边的三角形CDO面积）×3 $S = \frac{{4\pi }}{6} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\pi }}{3} - \sqrt 3 $ $\therefore V = 3S = 2\pi - 3\sqrt 3 $ ∴ 选D
15. 函数$f\left( x \right) = max\left\{ {{x^2}, - {x^2} + 8} \right\}$的最小值为（ ）
（A）
8
（B）
7
（C）
6
（D）
5
（E）
4
答案：E
解析：图像法 由图像可知在实线处取最小值，联立可得最小值为4 ∴ 选E
16. 设x,y为实数，则$\left| {x + y} \right| \le 2$. （1）${x^2} + {y^2} \le 2$ （2）$xy \le 1$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：A
解析：图像法 $\left| {x + y} \right| \le 2 \Rightarrow - 2 \le x + y \le 2$ 对于条件（1）通过点到直线的距离公式可得 圆心到直线的距离为$\sqrt 2 $，刚好满足$\left| {x + y} \right| \le 2$ ∴ 成立 对于条件（2），为反比例函数，明显不成立 ∴ 选A
17. 设$\left\{ {{a_n}} \right\}$为等差数列.则能确定${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_9}$的值 （1）已知${a_1}$的值 （2）已知${a_5}$的值
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 根据题干可得 ${S_9} = \frac{{9\left( {{a_1} + {a_9}} \right)}}{2} = 9{a_5}$ ∴ 条件（1）不成立 条件（2）成立 ∴ 选B
18. 设$m,n$是正整数.则能确定$m + n$的值. （1）$\frac{1}{m} + \frac{3}{n} = 1$ （2）$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = 1$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 因为m,n是正整数，所以可以取特值 对于（1），只能令$m = 2,n = 6$、$m = 4,n = 4$ 满足m+n=8 成立 对于（2），只能令$m = 2,n = 4$、$m = 3,n = 3$ 满足m+n=6 成立 ∴ 选D
19. 甲、乙、丙三人的年收入成等比数列.则能确定乙的年收入的最大值. （1）已知甲、丙两人的年收入之和 （2）已知甲、丙两人的年收入之积
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 条件（1）甲+丙已知，乙^2=甲∙丙 甲+丙≥2√(甲∙丙) ∴甲∙丙≤((甲+丙)/2)^2 ∴ 乙≤(甲+丙)/2 题干成立 对于条件（2），当甲丙年收入之积确定时，乙的年收入也是确定的（根据等比中项性质），常数既有最大也有最小，所以条件（2）也成立 ∴选D
20. 如图，在矩形ABCD中，AE=FC，则三角形AED与四边形BCFE能拼接成一个直角三角形. （1）EB=2FC （2）ED=EF
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 过点E作DC的垂线，交DC于M；过点F作AB的垂线，交AB于N 对于条件（1）EB=2FC 可得AE=EN=NB ∴ M是三角形EDF底边上的中点，所以可知三角形EDF 是等腰三角形 ∴ 三角形AED与四边形BCFE一定能拼接成一个直角三角形 ∴ 成立 对于条件（2）同理，三角形EDF为等腰三角形，也成立 ∴ 选D
21. 甲购买了若干件 A 玩具，乙购买了若干件 B 玩具给幼儿园，甲比乙少花了100元.则能确定甲购买的玩具件数. （1）甲与乙共购买了50件玩具 （2）A 玩具的价格是 B 玩具的2倍
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 4个未知数，至少3个条件，条件不够 所以设甲：x件，m元 乙：y件，n元 可得方程组 $x + y = 50$ $m = 2n$ $mx + 100 = ny$ $ \Rightarrow $不能求出$x$ ∴选E
22. 已知点$P\left( {m,0} \right),{\rm{A}}\left( {1,3} \right),B\left( {2,1} \right)$,点$\left( {x,y} \right)$在三角形PAB上.则x-y的最小值与最大值分别为-2和1. （1）$m \le 1$ （2）$m \ge - 2$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 根据题意，可知x-y的最大最小值只可能在端点上取 所以$P:x - y = m - 0 = m,A:x - y = 1 - 3 = - 2,B:x - y = 2 - 1 = 1$ 对于（1）m≤1时，max=1，min不存在 对于（2）m≥-2时，min=-2，max不存在 联立（1）与（2）可得：-2≤m≤1时，max=1，min=-2 成立 ∴ 联合选C
23. 如果甲公司的年终奖总额增加25%，乙公司的年终奖总额减少10%，两者相等.则能确定两公司的员工人数之比. （1）甲公司的人均年终奖与乙公司的相同 （2）两公司的员工人数之比与两公司的年终奖总额之比相等
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 设甲员工为x，年终奖为m，乙员工为y，年终奖为n 可得： $\left( {1 + 25\% } \right)m = \left( {1 - 10\% } \right)n$ 即 $1.25m = 0.9n$ 对于（1）$\frac{m}{x} = \frac{n}{y}$ $\frac{x}{y} = \frac{m}{n} = \frac{{0.9}}{{1.25}}$ 成立 对于（2）$\frac{x}{y} = \frac{m}{n} = \frac{{0.9}}{{1.25}}$ 成立 ∴选D
24. 设$a,b$为实数，则圆${x^2} + {y^2} = 2y$与直线$x + ay = b$不相交. （1）$\left| {a - b} \right| > \sqrt {1 + {a^2}} $ （2）$\left| {a + b} \right| > \sqrt {1 + {a^2}} $
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 直线与圆不相交，$d > r$， ${x^2} + {y^2} - 2y = 0\; \Rightarrow {\rm{\;\;}}{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$ 圆心为$\left( {0,1} \right),r = 1,x + ay - b = 0$ $d = \frac{{\left| {a - b} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} > 1$ 即$\left| {a - b} \right| > \sqrt {1 + {a^2}} $ ∴ 选A
25. 设函数$f\left( x \right) = {x^2} + ax$. 则$f\left( x \right)$的最小值与$f\left( {f\left( x \right)} \right)$的最小值相等. （1）$a \ge 2$ （2）$a \le 0$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）、（2）单独都不充分，但联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 $f\left( x \right)$最小值为$ - \frac{{{a^2}}}{4}$,$f\left( {f\left( x \right)} \right) = {\left( {{x^2} + ax} \right)^2} + a\left( {{x^2} + ax} \right)$ 令${x^2} + ax = t$,$f\left( {f\left( x \right)} \right) = {t^2} + at$ ∴ 最小值也是$ - \frac{{{a^2}}}{4}$ ∴ 和a的取值无关 ∴ 选D
