单项选择题
1. 已知船在静水中的速度是28km/h，河水的流速为2km/h.则此船在相距78km的两地间往返一次所需的时间是（ ）
（A）
5.9h
（B）
5.6h
（C）
5.4h
（D）
4.4h
（E）
4h
答案：B
解析：基本公式法 $t = \frac{{78}}{{28 + 2}} + \frac{{78}}{{28 - 2}}$ ${\rm{\;}} = 2.6 + 3$ $ = 5.6h$ ∴选B
2. 若实数a，b，c满足$|a - 3| + \sqrt {3b + 5} + {(5c - 4)^2} = 0$，则abc=（ ）
（A）
-4
（B）
$ - \frac{5}{3}$
（C）
$ - \frac{4}{3}$
（D）
$\frac{4}{5}$
（E）
3
答案：A
解析：基本公式法 $a = 3,b = - \frac{5}{3},c = \frac{4}{5}$ $abc = - 4$ ∴选A
3. 某年级60名学生中，有30人参加合唱团、45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的8人，则参加运动队而未参加合唱团的有（ ）人.
（A）
15
（B）
22
（C）
23
（D）
30
（E）
37
答案：C
解析：基本公式法 既合唱又运动为：$30 - 8 = 22$人 只运动未合唱为：$45-22=23$人 ∴选C
4. 现有一个半径为R的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是（ ）
（A）
$\frac{8}{3}{R^3}$
（B）
$\frac{{8\sqrt 3 }}{9}{R^3}$
（C）
$\frac{4}{3}{R^3}$
（D）
$\frac{1}{3}{R^3}$
（E）
$\frac{{\sqrt 3 }}{9}{R^3}$
答案：B
解析：基本公式法 体对角线为球的直径 ∴ $3{a^2} = {(2R)^2} = 4{R^2}$ ∴ $a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\;R$ ∴ $V = {a^3} = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}{R^3}$ ∴选B
5. 2007年，某市的全年研究与试验发展（R&D）经费支出30亿元，比2006年增长20%，该市的GDP为10000亿元，比2006年增长10%，2006年，该市的R&D经费支出占当年GDP的（ ）
（A）
1.75%
（B）
2%
（C）
2.50%
（D）
2.75%
（E）
3%
答案：D
解析：基本公式法 设2006支出为x，则$x\left( {1 + 20\% } \right) = 300$ x=250 设2006GDP为y，则$y\left( {1 + 10\% } \right) = 10000$ $y = \frac{{10000 \times 10}}{{11}} = \frac{{{{10}^5}}}{{11}}$ $\therefore $占比为： $\frac{{250}}{{\frac{{{{10}^5}}}{{11}}}} = \frac{{250 \times 11}}{{{{10}^5}}} = 0.0275 = 2.75\% $ ∴选D
6. 现从5名管理专业、4名经济专业和1名财会专业的学生中随机派出一个3人小组，则该小组中3个专业各有1名学生的概率为（ ）
（A）
$\frac{1}{2}$
（B）
$\frac{1}{3}$
（C）
$\frac{1}{4}$
（D）
$\frac{1}{5}$
（E）
$\frac{1}{6}$
答案：E
解析：基本公式法 P=满足要求的/全部的=(5名管理，4名经济，1名财会各有1人)/10人中选3人$ = \frac{{C_5^1C_4^1C_1^1}}{{C_{10}^3}}$ $ = \frac{{5 \times 4}}{{\frac{{10 \times 9 \times 8}}{{3 \times 2 \times 1}}}} = \frac{1}{6}$ ∴选E
7. 一所四年制大学每年的毕业生七月份离校，新生九月份入学.该校2001年招生2000名，之后每年比上一年多招200名，则该校2007年九月底的在校学生有（ ）名.
（A）
14000
（B）
11600
（C）
9000
（D）
6200
（E）
3200
答案：B
解析：基本公式法 入学 离校 2001 2000 2002 2200 2003 2400 2004 2600 2005 2800 2000 2006 3000 2200 2007 3200 2400 ∴在校生：$2600 + 2800 + 3000 + 3200 = 11600$ ∴选B
8. 将2个红球与1个白球随机放入甲、乙、丙三个盒子中，则乙盒中至少有1个红球的概率为（ ）
（A）
$\frac{1}{9}$
（B）
$\frac{8}{{27}}$
（C）
$\frac{4}{9}$
（D）
$\frac{5}{9}$
（E）
$\frac{{17}}{{27}}$
答案：D
解析：基本公式法 P=满足要求的/全部的=乙盒最少有一个红球/3个球随机放在3个盒子中=(乙盒1红0白($C_2^1*{2^2}$ )+1红1白($C_2^1*2$)+2红0白($C_2^2*2$)+2红1白(1))/${3^3}$ $ = \frac{{8 + 4 + 2 + 1}}{{27}} = \frac{{15}}{{27}} = \frac{5}{9}$ ∴选D
9. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，弧AOB，BOC，COD，DOA均为半圆，则阴影部分的面积为（ ）
（A）
$\frac{1}{2}$
（B）
$\frac{\pi }{2}$
（C）
$1 - \frac{\pi }{4}$
（D）
$\frac{\pi }{2} - 1$
（E）
$2 - \frac{\pi }{2}$
答案：E
解析：基本公式法 S阴影=2（S正-S圆） $ = 2(1 - \frac{{\rm{\pi }}}{4})$ $ = 2 - \frac{{\rm{\pi }}}{2}$ ∴选E
10. 3个3口之家一起观看演出，他们购买了同一排的9张连坐票，则每一家的人都坐在一起的不同坐法有（ ）种.
（A）
${(3!)^2}$
（B）
${(3!)^3}$
（C）
$3{(3!)^3}$
（D）
${(3!)^4}$
（E）
$9!$
答案：D
解析：基本公式法 3个3口之家，我们采用先整体再分离的思想 每个家庭内部有${\left( {3!} \right)^3}$种 把每个家庭看成一个整体 这3个家庭之间共有$\left( {3!} \right)$种 ∴总计${\left( {3!} \right)^4}$种 ∴选D
11. 设P是圆${x^2} + {y^2} = 2$上的一点，该圆在点P的切线平行于直线$x + y + 2 = 0$，则点P的坐标为（ ）
（A）
$( - 1,1)$
（B）
$(1, - 1)$
（C）
$(0,\sqrt 2 )$
（D）
$(\sqrt 2 ,0)$
（E）
$(1,1)$
答案：E
解析：基本公式法 很显然，由图可得选E
12. 设a，b，c是小于12的三个不同的质数（素数），且$|a - b| + |b - c| + |c - a| = 8$，则$a + b + c = $（ ）
（A）
10
（B）
12
（C）
14
（D）
15
（E）
19
答案：D
解析：基本公式法 $\left| {a - b} \right| + \left| {b - c} \right| + \left| {c - a} \right| = 8$ 小于12的质数有2、3、5、7、11 $\left| {a - b} \right| + \left| {b - c} \right| + \left| {c - a} \right| = 8$ ∴a=3,b=5,c=7满足 ∴ $a + b + c = 15$ ∴选D
13. 在年底的献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款.经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种.该单位捐款500元的人数为（ ）
（A）
13
（B）
18
（C）
25
（D）
30
（E）
38
答案：A
解析：基本公式法 捐款100元有 x人，500元的y人，2000元的 z人 ∴$x + y + z = 100$ $100x + 500y + 2000z = 19000$ 即$x + y + z = 100$ $x + 5y + 20z = 190$ ∴ $4y + 19z = 90$ ∴y=13,z=2 ∴选A
14. 某施工队承担了开凿一条长为2400m隧道的工程，在掘进了400m后，由于改进了施工工艺，每天比原计划多掘进2m，最后提前50天完成了施工任务.原计划施工工期是（ ）
（A）
200天
（B）
240天
（C）
250天
（D）
300天
（E）
350天
答案：D
解析：基本公式法 设原来每天掘进xm ∴ $\frac{{2400}}{x} = \frac{{400}}{x} + \frac{{2000}}{{x + 2}} + 50$ ∴可解得：x=8 ∴ $\frac{{2400}}{8} = 300$天 ∴选D
15. 已知${x^2} + {y^2} = 9,xy = 4$，则$\frac{{x + y}}{{{x^3} + {y^3} + x + y}} = $（ ）
（A）
$\frac{1}{2}$
（B）
$\frac{1}{5}$
（C）
$\frac{1}{6}$
（D）
$\frac{1}{13}$
（E）
$\frac{1}{14}$
答案：C
解析：基本公式法 $\frac{{x + y}}{{{x^3} + {y^3} + x + y}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + \left( {x + y} \right)}}$ $ = \frac{1}{{{x^2} - xy + {y^2} + 1}}$ $ = \frac{1}{{9 - 4 + 1}}$ $ = \frac{1}{6}$ ∴选C
16. 实数a，b，c成等差数列. 16. 实数a，b，c成等差数列. (1) ${e^a},{e^b},{e^c}$成等比数列. (2) $\ln a,\ln b,\ln c$成等差数列.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 对于（1），${e^a},{e^b},{e^c}$成等比 ∴ ${e^{2b}} = {e^a} \cdot {e^c}$ ∴ $2b = a + c$ ∴$a,b,c$等差 对于（2）.${\rm{ln}}a,{\rm{ln}}b,{\rm{ln}}c$成等差 ∴ $2{\rm{ln}}b = {\rm{ln}}a + {\rm{ln}}c$ 即${b^2} = ac$ ∴选A
17. 在一次英语考试中，某班的及格率为80%. (1) 男生及格率为70%，女生及格率为90%. (2) 男生的平均分与女生的平均分相等.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 及格率与及格人数和总人数相关 对于（1），男、女及格率，并不知道男女的具体人数 ∴无法确定及格率 对于（2），平均分与及格没有必然联系，显然不成立 ∴选E
18. 如图，等腰梯形的上底和腰均为x，下底为x+10，则x=13. (1) 该梯形的上底与下底之比为13:23. (2) 该梯形的面积为216.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 对于（1）$\frac{x}{{x + 10}} = \;\frac{{13}}{{23}}$ ∴x=13 对于（2）$S = \frac{1}{2}\left[ {x + \left( {x + 10} \right)} \right]\sqrt {{x^2} - {5^2}}$ 即：$432 = (2x + 10)\sqrt {({x^2} - 25)}$ 可得：x=13 ∴选D
19. 现有3名男生和2名女生参加面试.则面试的排序法有24种. (1) 第一位面试的是女生. (2) 第二位面试的是指定的某位男生.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 对于（1）第一位女生，2种 其余四位全排列$A_4^4$ $\therefore $总计：$2A_4^4 = 48$ 对于（2），第二位指定，其余四位全排列 ∴总计：$A_4^4 = 24$ ∴选B
20. 已知三角形ABC的三条边长分别为a，b，c.则三角形ABC是等腰直角三角形. (1) $(a - b)({c^2} - {a^2} - {b^2}) = 0$. (2) $c = \sqrt 2 b$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 对于（1），$a = b$或${c^2} = {a^2} + {b^2}$ ∴等腰或者直角 对于（2），$c = \sqrt 2 b$无关 可联立（1）与（2），显然成立 ∴选C
21. 直线$ax + by + 3 = 0$被圆${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4$截得的线段长度为$2\sqrt 3 $. (1) a=0，b=-1. (2) a=-1，b=0.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 对于（1），$y = 3$代入圆，求出一个交点（2,3），不充分 对于（2），$x = 3$代入圆，交点$(3,1 + \sqrt 3 )(3,1 - \sqrt 3 )$ ∴截得弦长为$2\sqrt 3 $成立 ∴选B
22. 已知实数a，b，c，d满足${a^2} + {b^2} = 1,{c^2} + {d^2} = 1$，则$|ac + bd| < 1$. (1) 直线$ax + by = 1$与$cx + dy = 1$仅有一个交点. (2) $a \ne c,b \ne d$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 ${(ac + bd)^2} = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + 2abcd$ $ = ({a^2} + {b^2})({c^2} + {d^2}) - {b^2}{c^2} - {a^2}{d^2} + 2abcd$ $ = 1 - {(bc - ad)^2} \le 1$ 只要$ad \ne bc,\left| {ac + bd} \right| < 1$ 对于（1），$ax + by = 1$与$cx + dy = 1$仅有一个交点 ∴两直线相交 即$\frac{b}{a} \ne \frac{d}{c},ad \ne bc$成立 ∴选A
23. 某年级共有8个班.在一次年级考试中，共有21名学生不及格，每班不及格的学生最多有3名，则（一）班至少有1名学生不及格. (1) （二）班的不及格人数多于（三）班. (2) （四）班不及格的学生有2名.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 21名学生不及格，每班3人，7个班正好21人 对于（1），（二）班不及格的人数多于（三）班 说明（三）班没有3人不及格 7个班用不满21人的名额 ∴（一）班至少有1名学生不及格 对于（2）（四）班不及格的学生有2名，7个班必然用不满21人的名额 ∴（一）班至少有1名学生不及格 ∴选D
24. 现有一批文字资料需要打印，两台新型打印机单独完成此任务分别需要4小时与5小时，两台旧型打印机单独完成此任务分别需要9小时与11小时，则能在2.5小时内完成此任务. (1) 安排两台新型打印机同时打印. (2) 安排一台新型打印机与两台旧型打印机同时打印.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 对于（1），$t = \frac{1}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}}\; = \frac{{20}}{9} < 2.5$充分 对于（2），$t = \frac{1}{{\frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{11}}}}\; = \frac{{495}}{{199}} < 2.5$充分 ∴选D
25. 已知$\{ {a_n}\} $为等差数列，则该数列的公差为零. (1) 对任何正整数n，都有${a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \le n$. (2) ${a_2} \ge {a_1}$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 对于（1）${a_n}$取负数，显然不充分 对于（2）${a_2} \ge {a_1},d \ge 0$,不充分 联立（1）和（2） 当$d > 0$时，${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n} > n$ ∴d只能等于0 ∴联合选C
