单项选择题
1. 若$x + \frac{1}{x} = 3$，则$\frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = $（ ）
（A）
$ - \frac{1}{8}$
（B）
$\frac{1}{6}$
（C）
$\frac{1}{4}$
（D）
$ - \frac{1}{4}$
（E）
$\frac{1}{8}$
答案：E
解析：基本公式法 $\frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{1}{{{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}$（上下同除以${x^2}$） 已知$x + \frac{1}{x} = 3$两边平方可得： ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2 = 9$ ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7$ ∴$\frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{1}{{7 + 1}}{\rm{ = }}\frac{1}{8}$ ∴选E
2. 若实数a，b，c满足：${a^2} + {b^2} + {c^2} = 9$，则代数式${(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2}$的最大值是（ ）
（A）
21
（B）
27
（C）
29
（D）
32
（E）
39
答案：B
解析：基本公式法 ${(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} = 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) - (2ab + 2bc + 2ac)$ $ = 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) - [{(a + b + c)^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2})]$ $ = 3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - {(a + b + c)^2}$ $ = 27 - {(a + b + c)^2} \le 27$ 当$a + b + c = 0$时 ∴选B
3. 某地震灾区现居民住房的总面积为$a$平方米，当地政府计划每年以10%的住房增长率建设新房，并决定每年拆除固定数量的危旧房.如果10年后该地的住房总面积正好比现有住房面积增加一倍，那么，每年应该拆除危旧房的面积是（ ）平方米. （注：${1.1^9} \approx 2.4,{1.1^{10}} \approx 2.6,{1.1^{11}} \approx 2.9$精确到小数点后一位.）
（A）
$\frac{1}{8}$
（B）
$\frac{1}{{40}}a$
（C）
$\frac{3}{{80}}a$
（D）
$\frac{1}{{20}}a$
（E）
以上结论都不正确
答案：C
解析：基本公式法 设每年拆除的危房面积为x平方米，则有： 第1年后：$a\left( {1 + 0.1} \right) - x = 1.1a - x$； 第2年后：$\left[ {a\left( {1 + 0.1} \right) - x} \right]\left( {1 + 0.1} \right) - x = {1.1^2}a - 1.1x - x$； $ \vdots $ 第10后：${1.1^{10}}a - {1.1^9}x - {1.1^8}x - \cdots - 1.1x - x = 2a$； 即：${1.1^{10}}a - x\left( {{{1.1}^9} + {{1.1}^8} + \cdots + 1} \right) = 2a$ $2.6a - x\frac{{1\left( {1 - {{1.1}^{10}}} \right)}}{{1 - 1.1}} = 2a$ ∴$x = \frac{3}{{80}}a$ ∴选C
4. 某学生在军训时进行打靶测试，共射击10次.他的第6、7、8、9次射击分别射中9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击的平均环数高于前5次的平均环数.若要使10次射击的平均环数超过8.8环，则他第10次射击至少应该射中（ ）环.（报靶成绩精确到0.1环）
（A）
9.0
（B）
9.2
（C）
9.4
（D）
9.5
（E）
9.9
答案：E
解析：基本公式法 6、7、8、9次射击的平均环数为$\frac{{9 + 8.4 + 8.1 + 9.3}}{4} = 8.7$ 前5次最多射击了$\left( {5 \times 8.7 - 0.1} \right)$环 若10次射击的平均环数超过8.8环，则总环数至少为：$\left( {8.8 \times 10 + 0.1} \right)$环 故最后一次射击至少要$\left( {8.8 \times 10 + 0.1} \right) - \left( {9 \times 8.7 - 0.1} \right) = 9.9$环 ∴选E
5. 某种同样的商品装成一箱，每个商品的重量都超过1千克，并且是1千克的整数倍，去掉箱子重量后净重210千克，拿出若干个商品后，净重183千克，则每个商品的重量为（ ）
（A）
1
（B）
2
（C）
3
（D）
4
（E）
5
答案：C
解析：基本公式法 取出重量为：$210 - 183 = 27$kg 取出为整数个 ∴每个商品重量为27的公约数 ∴选C
6. 在一条与铁路平行的公路上有一行人与一骑车人同向行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时.如果一列火车从他们的后面同向匀速驶来，它通过行人的时间是22秒，通过骑车人的时间是26秒，则这列火车的车身长为（ ）米.
（A）
186
（B）
268
（C）
168
（D）
286
（E）
188
答案：D
解析：基本公式法 行人速度为：$3.6km/{\rm{h}} = 1m/s$ 骑车人速度为：$10.8km/{\rm{h}} = 3m/s$ 设火车长度为lm，速度为vm/s ∴$\left( {v - 1} \right) \cdot 22 = l$ $\left( {v - 3} \right) \cdot 26 = l$ 可解得：$v = 14m/s,l = 286m$ ∴选D
7. 一件工程要在规定时间内完成.若甲单独做要比规定的时间推迟4天，若乙单独做要比规定的时间提前2天完成.若甲、乙合作了3天，剩下的部分由甲单独做，恰好在规定时间内完成，则规定时间为（ ）天.
（A）
19
（B）
20
（C）
21
（D）
22
（E）
24
答案：B
解析：基本公式法 设规定时间为x天完成 甲单独完成需要$\left( {x + 4} \right)$天，乙单独完成需要$\left( {x - 2} \right)$天 ∴$\left( {\frac{1}{{x + 4}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right) \cdot 3 + \frac{{x - 3}}{{x + 4}} = 1$ 可解得：$x = 20$天 ∴选B 特殊技巧法——整除倍数关系 设规定时间为x天完成，则甲效率为$\frac{1}{{x + 4}}$乙效率为$\frac{1}{{x - 2}}$ 合作时甲做了x天，乙做了3天 ∴$\frac{x}{{x + 4}} + \frac{3}{{x - 2}} = 1$ ∴$x - 2$必为3的倍数 ∴观察答案，x只能为20 ∴选B
8. 一次考试有20道题，做对一题得8分，做错一题扣5分，不做不计分.某同学共得13分，则该同学没做的题数是（ ）
（A）
4
（B）
6
（C）
7
（D）
8
（E）
9
答案：C
解析：基本公式法 设:做了x道，做错y道 ∴ $8x - 5y = 13$ $x + y \le 20$ 化简可得： $8x - 5y = 13$ $5x + 5y \le 100$ $ \Downarrow $ $8x - 5y = 13$ $8x + 8y \le 160$ ∴$x \le 8.7$ $y \le 11$ $8x = 13 + 5y$ ∴y取奇数 ∴$x = 6,y = 7$ ∴没做题：$20 - 6 - 7 = 7$ ∴选C
9. 如图，小正方形的$\frac{3}{4}$被阴影所覆盖，大正方形$\frac{6}{7}$被阴影所覆盖，则小、大正方形阴影部分面积之比为（ ）
（A）
$\frac{7}{8}$
（B）
$\frac{6}{7}$
（C）
$\frac{3}{4}$
（D）
$\frac{4}{7}$
（E）
$\frac{1}{2}$
答案：E
解析：基本公式法 设小正方形面积为a，正方形面积为b 由题意可得：$\frac{1}{4}a = \frac{1}{7}b$ ∴$a:b = 4:7$ ∴$\frac{{\frac{3}{4}a}}{{\frac{6}{7}a}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ∴选E
10. 直线L与圆${x^2} + {y^2} = 4$相交于A、B两点，且A、B两点中点的坐标为(1,1)，则直线L的方程为（ ）
（A）
y-x=1
（B）
y-x=2
（C）
y+x=1
（D）
y+x=2
（E）
2y-3x=1
答案：D
解析：基本公式法 设A,B中点M(1,1)，${k_{OM}} = 1$ ${k_{AB}} = - 1$(垂径定理，垂直平分法，${k_{AB}} \cdot {k_{OM}} = - 1$） 又因为AB过点M（1，1） ∴AB方程为：$\frac{{y - 1}}{{x - 1}} = - 1$，即$y = - x + 2$ ∴选D
11. 如图，阴影甲的面积比阴影乙的面积多28$c{m^2}$，AB=40cm，BC垂直AB，则BC的长为（ ）cm.（$\pi $取到小数点后两位.）
（A）
30
（B）
32
（C）
34
（D）
36
（E）
40
答案：A
解析：基本公式法 由题意可得：28=S半圆$ - {S_{\Delta ABC}} = \frac{{\pi \cdot {r^2}}}{2} - \frac{1}{2}AB \times BC$ $ = \frac{\pi }{2} \cdot {\left( {20} \right)^2} - \frac{1}{2} \times 40 \times BC$ ∴$BC = \frac{{200\pi - 28}}{{20}} = 30$ ∴选A
12. 若圆的方程是${x^2} + {y^2} = 1$，则它的右半圆（在第一象限和第四象限内的部分）的方程是（ ）.
（A）
$y - \sqrt {1 - {x^2}} = 0$
（B）
$x - \sqrt {1 - {y^2}} = 0$
（C）
$y + \sqrt {1 - {x^2}} = 0$
（D）
$x + \sqrt {1 - {y^2}} = 0$
（E）
${x^2} + {y^2} = \frac{1}{2}$
答案：B
解析：基本公式法 ${x^2} + {y^2} = 1$可得：$x = \pm \sqrt {1 - {y^2}} $，右半部分，$x \ge 0$ ∴$x = \sqrt {1 - {y^2}} $ ∴选B
13. 等比数列$\{ {a_n}\} $中，${a_3},{a_8}$是方程$3{x^2} + 2x - 18 = 0$的两个根，则${a_4} \cdot {a_7} = $（ ）
（A）
-9
（B）
-8
（C）
-6
（D）
6
（E）
8
答案：C
解析：基本公式法 ${a_4}{a_7} = {a_3}{a_8} = - \frac{{18}}{3} = - 6$（下标和+韦达定理） ∴选C
14. 某公司有9名工程师，张三是其中之一.从中任意抽调4人组成公关小组，包括张三的概率是（ ）
（A）
$\frac{2}{9}$
（B）
$\frac{2}{5}$
（C）
$\frac{1}{3}$
（D）
$\frac{4}{9}$
（E）
$\frac{5}{9}$
答案：D
解析：基本公式法 9名工程师抽调4人，共有$C_9^4$种 张三必须参加，剩余8人抽3人，共有$C_8^3$种 P=满足要求/全部可能=$\frac{{C_8^3}}{{C_9^4}} = \frac{4}{9}$ ∴选D
15. 在10道备选试题中，甲能答对8题，乙能答对6题.若某次考试从这10道备选题中随机抽出3道作为考题，至少答对2题才算合格，则甲乙两人考试都合格的概率是（ ）
（A）
$\frac{{28}}{{45}}$
（B）
$\frac{2}{3}$
（C）
$\frac{{14}}{{15}}$
（D）
$\frac{{26}}{{45}}$
（E）
$\frac{{8}}{{15}}$
答案：A
解析：基本公式法 甲 8会，2不会 甲合格：2会1不会+3会=$\frac{{C_8^2C_2^1}}{{C_{10}^3}} + \frac{{C_8^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{{14}}{{15}}$ 乙 6会，4不会 乙合格=1-乙不合格 乙不合格：1会2不会+3不会=$\frac{{C_6^1C_4^2}}{{C_{10}^3}} + \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{3}$ 乙合格=$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ∴甲乙合格=$\frac{{14}}{{15}} \times \frac{2}{3} = \frac{{28}}{{45}}$ ∴选A
16. 12支篮球队进行单循环比赛，完成全部比赛共需11天. (1) 每天每队只比赛1场. (2) 每天每队比赛2场.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 单循环共要打11场比赛，所以11天完成的话，每队每天只能比赛1场。 ∴条件（1）显然成立 ∴选A
17. ${x_n} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}(n = 1,2,...)$. (1) ${x_1} = \frac{1}{2},{x_{n + 1}} = \frac{1}{2}(1 - {x_n})(n = 1,2,...)$. (2) ${x_1} = \frac{1}{2},{x_{n + 1}} = \frac{1}{2}(1 + {x_n})(n = 1,2,...)$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 对于（1），${x_1} = \frac{1}{2}$，${x_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {1 - {x_n}} \right)\left( {n = 1,2, \cdots } \right)$ ∴${x_2} = \frac{1}{2}\left( {1 - {x_1}} \right) = \frac{1}{4}$ 结论：${x_n} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}\left( {n = 1,2, \cdots } \right)$ ∴${x_2} = 1 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{4}$，显然不成立 对于（2），${x_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {x_n}} \right)$ 等式两边同时减1可得：${x_{n + 1}} - 1 = \frac{1}{2}\left( {{x_n} - 1} \right)$ 即$\frac{{{x_{n + 1}} - 1}}{{{x_n} - 1}} = \frac{1}{2}$ ∴$\left\{ {{x_n} - 1} \right\}$以${x_1} - 1 = - \frac{1}{2}$为首，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列 ∴${x_n} - 1 = - \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ ∴${x_n} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}\left( {n = 1,2, \cdots } \right)$,成立 ∴选B
18. 直线$y = ax + b$经过第一、第二、第四象限 （1）$a < 0$ （2）$b > 0$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 对于（1）$a < 0$ 直线可以经过一、二、四象限，二、三、四象限，二、四象限 对于（2）$b > 0$ 直线可以经过一、二、三象限，一、二、四象限 联立（1）、（2）$a < 0$、$b > 0$ 直线经过二、三、四象限 ∴联合选C
19. 不等式$3ax - \frac{5}{2} \le 2a$的解集是$x \le \frac{3}{2}$. (1) 直线$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$与x轴的交点是(1,0). (2) 方程$\frac{{3x - 1}}{2} - a = \frac{{1 - a}}{3}$的根为x=1.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 对于（1），$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$与x轴的交点是（1,0）， ∴$a = 1$ 即：$3x - \frac{5}{2} \le 2$ ∴$x \le \frac{3}{2}$，成立 对于（2），$x = 1$代入$\frac{{3x - 1}}{2} - a = \frac{{1 - a}}{3}$可得：$a = 1$ ∴也成立 ∴选D
20. $a{x^3} - b{x^2} + 23x - 6$能被(x-2)(x-3)整除. (1) a=3，b=-16. (2) a=3，b=16.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 $a{x^3} - b{x^2} + 23x - 6$能被$\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)$整除 ∴ $f\left( 2 \right) = 0$ $f\left( 3 \right) = 0$ ∴ $8a - 4b + 40 = 0$ $27a - 8b + 63 = 0$ 可得$a = 3,b = 16$ ∴选B
21. 一元二次方程$a{x^2} + bx + c = 0$无实根. (1) a，b，c成等比数列，且$b \ne 0$. (2) a，b，c成等差数列.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 方程$a{x^2} + bx + c = 0$无实根等价于$\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ 对于条件（1）a,b,c成等比数列，且$b \ne 0$ ∴${b^2} = ac$ 代入$\Delta = {b^2} - 4ac = - 3{b^2} < 0$，成立 对于条件(2) a,b,c成等差数列 ∴$2b = a + c$ 无法确定$\Delta = {b^2} - 4ac$，不成立 ∴选A
22. 圆${C_1}$是圆${C_2}:{x^2} + {y^2} + 2x - 6y - 14 = 0$关于直线y=x的对称圆. (1) 圆${C_1}:{x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 14 = 0$. (2) 圆${C_1}:{x^2} + {y^2} + 2y - 6x - 14 = 0$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 圆${c_2}$：${x^2} + {y^2} + 2x - 6y - 14 = 0$ 即：${(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 24$ 圆心：(-1,3).$r = 2\sqrt 6 $ 对于（1），圆${c_1}$：${x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 14 = 0$ 即： ${(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = 24$ 圆心：(1,3).$r = 2\sqrt 6 $ 显然（-1，3）和（1,3）关于y轴対称，没有关于$y = x$対称 对于（2），圆${c_1}$：${x^2} + {y^2} + 2y - 6x - 14 = 0$ 即：${(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 24$ 圆心（3，-1）$r = 2\sqrt 6 $ 显然（-1,3）与（3，-1）关于$y = x$対称，半径也相等。 ∴选B
23. 直线y=k(x+2)是圆${x^2} + {y^2} = 1$的一条切线. (1) $k = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. (2) $k = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 直线$y = k\left( {x + 2} \right)$与圆${x^2} + {y^2} = 1$相切，即$d = r$ ∴$d = \frac{{2k}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} = 1$ 即：$4{k^2} = {k^2} + 1$ ∴$k = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ 显然，对于（1）$k = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$，（2）$k = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$都成立 ∴选D
24. $C_{31}^{4n - 1} = C_{31}^{n + 7}$. (1) ${n^2} - 7n + 12 = 0$. (2) ${n^2} - 10n + 24 = 0$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 $C_{31}^{4n - 1} = C_{31}^{n + 7}$，即$\left( {4n - 1} \right) + \left( {n + 7} \right) = 31$ ∴$n = 3$ 对于（1）${n^2} - 7n + 12 = 0$，$\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right) = 0$ ∴$n = 3$ or$n = 4$，不成立 对于（2），${n^2} - 10n + 24 = 0$，$\left( {n - 4} \right)\left( {n - 6} \right) = 0$ ∴$n = 4$ or $n = 6$，不成立 ∴选E
25. ${(\alpha + \beta )^{2009}} = 1$. (1)$\left\{ {_{\beta x + \alpha y = 1}^{x + 3y = 7}} \right.$与$\left\{ {_{\alpha x + \beta y = 2}^{3x - y = 1}} \right.$有相同的解. (2) $\alpha $和$\beta $是方程${x^2} + x - 2 = 0$的两个根.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 对于（1） $x + 3y = 7$ $\beta x + \alpha y = 1$ 与 $3x - y = 1$ $\alpha x + \beta y = 2$ 有相同的解 ∴联立 $x + 3y = 7$ $3x - y = 1$ 可得：$x = 1,y = 2$ 代入剩余两个式子 ∴ $\beta + 2\alpha = 1$ $\alpha + 2\beta = 2$ ∴${\left( {\alpha + \beta } \right)^{2009}} = 1$，成立 对于（2），$\alpha + \beta = - 1$，显然不成立 ∴选A
