单项选择题
1. 已知某车间的男工人数比女工人数多80%，若在该车间一次技术考核中全体工人的平均成绩为75分，而女工平均成绩比男工平均成绩高20%，则女工的平均成绩为（ ）
（A）
88
（B）
86
（C）
84
（D）
82
（E）
80
答案：C
解析：基本公式法 女工人数为m,男工人数为1.8m 女工平均成绩为n,男工平均成绩为$\frac{n}{{1.2}}$, 由题意可得：$75 = \frac{{mn + 1.8m \times \frac{n}{{1.2}}}}{{m + 1.8m}}$ 即 $75 \times 1.8m = mn\left( {1 + \frac{{1.8}}{{1.2}}} \right)$ ∴ $n = \frac{{75 \times 1.8}}{{1 + \frac{{1.8}}{{1.2}}}} = 84$ ∴选C
2. 某人在市场上买猪肉，小贩称得肉重为4斤.但此人不放心，拿出一个自备的100克重的砝码，将肉和砝码放在一起让小贩用原称复称，结果重量为4.25斤.由此可知顾客应要求小贩补猪肉（ ）两.
（A）
3
（B）
6
（C）
4
（D）
7
（E）
8
答案：E
解析：基本公式法 设补猪肉x个，真实质量与显示的总量之比相等 即：$\frac{{4 - x}}{4} = \frac{{4.2 - x}}{{4.25}}$ ∴ $x = 0.8$,即8两 ∴选E
3. 甲、乙两商店某种商品的进货价格都是200元，甲店以高于进货价格20%的价格出售， 乙店以高于进货价格15%的价格出售，结果乙店的售出件数是甲店的2倍。扣除营业税后乙店的利润比甲店多5400元。若设营业税率是营业额的5%，那么甲、乙两店售出该商品各为（ ）件.
（A）
450,900
（B）
500,1000
（C）
550,1100
（D）
600,1200
（E）
650,1300
答案：D
解析：基本公式法 设甲店售出x件，甲店利润为：$200 \times 0.2x - 200 \times 1.2x \times 5\% = 28x$乙店售出2x件，乙店利润为：$200 \times 0.15 \times 2x - 200 \times 1.15 \times 2x \times 5\% = 37x$（利润需要减去营业税） 由题意可得：$37x - 28x = 9x = 5400$元 ∴ x=600件，2x=1200件 ∴选D
4. 甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，当方向相反时每隔48秒相遇一 次，当方向相同时每隔10分钟相遇一次。若甲每分钟比乙快40米，则甲、乙两人的跑步速度分别是（ ）米/分.
（A）
470,430
（B）
380,340
（C）
370,330
（D）
280,240
（E）
270,230
答案：E
解析：基本公式法 设乙的速度为v米/分，甲的速度为(v+40)米/分 反向时，$\left[ {v + \left( {v + 40} \right)} \right] \times \frac{{48}}{{60}} = S$ 同向时，$\left[ {\left( {v + 40} \right) - v} \right] \times 10 = S$ 可得：v=230米/分 ∴选E
5. 一艘小轮船上午8：00起航逆流而上（设船速和水流速度一定），中途船上一块木板落 入水中，直到8：50船员才发现这块重要的木板丢失，立即调转船头去追，最终于9：20追上木板。由上述数据可以算出木板落水的时间是（ ）
（A）
8:35
（B）
8:30
（C）
8:25
（D）
8:20
（E）
8:15
答案：D
解析：基本公式法 设水速为v水，船速为v船，起航后t分钟木板落水 从木板落水到船员发现，用时(50-t)分钟 此时木板走了(50-t) v水，船反向走了(50-t)(v船-v水 ) 从8：50到9：20追上，共用了30分钟 则(v船+v水)×30=(50-t)(v船-v水 )+(50-t) v水+30v水 解得：t=20，即8：20木板落水 ∴选D
6. 若x，y是有理数，且满足$(1 + 2\sqrt 3 )x + (1 - \sqrt 3 )y - 2 + 5\sqrt 3 = 0$，则x，y的值分别为（ ）
（A）
1，3
（B）
-1，2
（C）
-1，3
（D）
1，2
（E）
以上结论都不正确
答案：C
解析：基本公式法 $\;\left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y - 2 + 5\sqrt 3 = 0$ 整理可得：$\left( {x + y - 2} \right) + \left( {2x - y + 5} \right)\sqrt 3 = 0$ ∴ $x + y - 2 = 0$ $2x - y + 5 = 0$ ∴ $x = - 1,y = 3$ ∴选C
7. 设a与b之和的倒数的2007次方等于1，a的相反数与b之和的倒数的2009次方也等于1.则${a^{2007}} + {b^{2009}} = $（ ）
（A）
-1
（B）
2
（C）
1
（D）
0
（E）
${2^{2007}}$
答案：C
解析：基本公式法 ${\left( {\frac{1}{{a + b}}} \right)^{2007}}{\rm{ = 1}}$ ${\left( {\frac{1}{{ - a + b}}} \right)^{2009}}{\rm{ = 1}}$ ∴ $a + b = 1$ $ - a + b = 1$ ∴ $a = 0,b = 1$ ∴${a^{{\rm{2007}}}} + {b^{{\rm{2009}}}} = 1$ ∴选C
8. 设$y = |x - a| + |x - 20| + |x - a - 20|$，其中$0 < a < 20$，则对于满足$a \le x \le 20$的x值，y的最小值是（ ）
（A）
10
（B）
15
（C）
20
（D）
25
（E）
30
答案：C
解析：基本公式法 ${\rm{\;\;y}} = \left| {x - a} \right| + \left| {x - 20} \right| + \left| {x - \left( {a + 20} \right)} \right|$ 表示数轴上的点到a,20,(a+20) 3点之间的距离和 ${\rm{\;\;\;}}0 < a < 20,{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}}a \le x \le 20$ ∴ $a < 20 < a + 20$ ∴当x=20时，${y_{\min }} = 20$ . ∴选C
9. 若关于x的二次方程$m{x^2} - (m - 1)x + m - 5 = 0$有两个实根$\alpha $和$\beta $，且满足$ - 1 < \alpha < 0$和$0 < \beta < 1$，则m的取值范围是（ ）
（A）
3
（B）
4
（C）
5
（D）
m>6或m<5
（E）
m>5或m<4
答案：B
解析：基本公式法 ${\rm{\;}}m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m - 5 = 0{\rm{\;}}$有两个实根α，β . ${\rm{\;}} - 1 < {\rm{\alpha }} < 0$ 和 $0 < {\rm{\beta }} < 1$ . 说明（-1,0）之间有一个根α . （0,1）之间有一个根β . ∴ $f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ $f\left( 0 \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0$ ∴ $\left( {3m - 6} \right)\left( {m - 5} \right) < 0$ $\left( {m - 5} \right)\left( {m - 4} \right) < 0$ ∴ $2 < m < 5$ $4 < m < 5$ ∴ $4 < m < 5$ ∴选B
10. 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回前一次高度的一半再落下.当它第10次着地时，共经过的路程是（ ）米.（精确到1米且不计任何阻力）
（A）
300
（B）
250
（C）
200
（D）
150
（E）
100
答案：A
解析：基本公式法 第一次着地，落下距离为${a_1} = 100$； 第二次着地，落下距离为${a_2} = \frac{1}{2}{a_1} = 50$，但走了两个${a_2}$距离； 第三次着地，落下距离为${a_3} = \frac{1}{2}{a_2} = 25$，但走了两个${a_3}$距离； 同理可得：${S_{10}} = {a_1} + 2{a_2} + 2{a_3} + \cdots + 2{a_{10}}$ $ = {a_1} + 2\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{10}}} \right)$ $ = 100 + 2\left( {50 + 25 + \cdots + 50 \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^8}} \right)$ $ = 100 + 2\frac{{50\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}{\rm{\;}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}}$ $\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^9}} \right)$近似于1 $ = 100 + 200 = 300$ ∴选A
11. 曲线${x^2} - 2x + {y^2} = 0$上的点到直线$3x + 4y - 12 = 0$的最短距离是（ ）
（A）
$\frac{3}{5}$
（B）
$\frac{4}{5}$
（C）
1
（D）
$\frac{4}{3}$
（E）
$\sqrt 2 $
答案：B
解析：基本公式法 ${x^2} - 2x + {y^2} = 0$等价于${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ 圆心（1，0），r=1 圆心到直线距离为： $d = \frac{{\left| {3 \times 1 + 4 \times 0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{9}{5}\left( {d = \frac{{A{x_0} + B{y_0} + C}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}} \right)$ ∴最短距离为：$d - r = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$ ∴选B
12. 曲线$|xy| + 1 = |x| + |y|$所围成的图形面积为（ ）
（A）
$\frac{1}{4}$
（B）
$\frac{1}{2}$
（C）
1
（D）
2
（E）
4
答案：E
解析：基本公式法 $\left| {xy} \right| + 1 = \left| x \right| + \left| y \right|$ 等价为：$\left| {xy} \right| - \left| x \right| - \left| y \right| + 1 = 0$ 即：$\left( {\left| x \right| - 1} \right)\left( {\left| y \right| - 1} \right) = 0$， 即$\left| x \right| = 1$或$\left| y \right| = 1$ ∴ $x = \pm 1,y = \pm 1$ 故围成一个边长为2的正方形，$S = 2 \times 2 = 4$ ∴选E
13. 如图，向放在水槽底部的口杯注水（流量一定），注满口杯后继续注水，直到注满水槽，水槽中水平面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
以上图形均不正确
答案：C
解析：基本公式法 t=0,刚开始时，向口杯中注入水，水槽里没有水，高度为o 注入一段时间后，口杯水满，开始流入槽内，水面上升 当水面上升到和口杯同高度时，继续注入，水面依然上升，只不过上升速度较之 前变慢（相当于底变宽） ∴选C
14. 若将10只相同的球随机放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则每个盒子不空的投放方法有（ ）种.
（A）
72
（B）
84
（C）
96
（D）
108
（E）
120
答案：B
解析：基本公式法 隔板法的应用 10只相同的球放入4个盒子中，相当于分4堆 10个球，放一排，9个空，放3个板，正好分4堆 ∴ $C_9^3 = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2}} = 84$ 种 ∴选B
15. 若以连续两次掷骰子得到的点数a和b作为点P的坐标，则点P(a,b)落在直线x+y=6和两坐标轴围成的三角形内的概率为（ ）
（A）
$\frac{1}{6}$
（B）
$\frac{7}{36}$
（C）
$\frac{2}{9}$
（D）
$\frac{1}{4}$
（E）
$\frac{5}{18}$
答案：E
解析：基本公式法 当P(a,b)所有可能情况为：6×6=36种。 当P(a,b)落入三角形内的情况有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（4,1）共10种。 ∴ $P = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}$ ∴选E
16. $a + b + c + d + e$的最大值是133. (1) a，b，c，d，e是大于1的自然数，且abcde=2700. (2) a，b，c，d，e是大于1的自然数，且abcde=2000.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 根据均值定理，当乘积为定值时，和有最小值 当且仅当每个相等时，取得最小值 意味着，当每个数之间越接近时，和最小 同理，当每个数之间差距越大时，和才能最大 对于（1），$abcde = 2700 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 75$ 和的最大值为：$2 + 2 + 3 + 3 + 75 = 85$，不充分 对于（2），$abcde = 2000 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 125$ 和的最大值为：$2 + 2 + 2 + 2 + 125 = 133$，充分 ∴选B
17. 二次三项式${x^2} + x - 6$是多项式$2{x^4} + {x^3} - a{x^2} + bx + a + b - 1$的一个因式. (1) a=16. (2) b=2.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 ${x^2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$,$\therefore $x-2与x+3也是多项式的因式 ∴x=2，x=-3也是 方程$2{x^4} + {x^3} - a{x^2} + bx + a + b - 1 = 0$的根 即： $2 \times {2^4} + {2^3} - 4a + 2b + a + b - 1 = 0$ $2 \times {3^4} + {3^3} - 4a + 2b + a + b - 1 = 0$ 可得：$a = 16,b = 3$ （联合也不成立） ∴选E
18. ${2^{x + y}} + {2^{a + b}} = 17$. (1) a，b，x，y满足$y + |\sqrt x - \sqrt 3 | = 1 - {a^2} + \sqrt 3 b$. (2) a，b，x，y满足$|x - 3| + \sqrt 3 b = y - 1 - {b^2}$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 4个参数a,b,x,y，显然单独不能独立，考虑联合 条件（1）与条件（2）相加可得： $\left| {x - 3} \right| + \left| {\sqrt x - \sqrt 3 } \right| + {a^2} + {b^2} = 0$∴ x=3,a=b=0 代入条件（1）可得：y=1 ${2^{(x + y)}} + {2^{(a + b)}} = {2^{(3 + 1)}} + {2^0} = 16 + 1 = 17$，成立 ∴联合选C
19. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $. (1) abc=1. (2) a，b，c为不全相等的正数.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 单独显然不能成立，考虑联合（1）和（2） $\;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = bc + ac + ab = \frac{{ab + bc}}{2} + \frac{{ac + bc}}{2} + \frac{{ab + ac}}{2}$ $ \ge \frac{{2\sqrt {abbc} }}{2} + \frac{{2\sqrt {acbc} }}{2} + \frac{{2\sqrt {abac} }}{2}$ $ = \sqrt b + \sqrt c + \sqrt a $ 因为a,b,c不完全相等，∴等号不成立，只能取大于号，充分 ∴联合选C
20. 关于x的方程$\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{1 - x}}{{2 - x}}$与$\frac{{x + 1}}{{x - |a|}} = 2 - \frac{3}{{|a| - x}}$有相同的增根. (1) a=2. (2) a=-2.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 $\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{1 - x}}{{2 - x}}$的增根为x=2， $\frac{{x + 1}}{{x - \left| a \right|}} = 2 - \frac{3}{{\left| a \right| - x}}$的增根为， $x = \left| a \right|$ 故当$a = \pm 2$时，两个方程的增根相同 ∴选D
21. 关于x的方程${a^2}{x^2} - (3{a^2} - 8a)x + 2{a^2} - 13a + 15 = 0$至少有一个整数根. (1) a=3. (2) a=5.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 ${a^2}{x^2} - \left( {3{a^2} - 8a} \right)x + 2{a^2} - 13a + 15 = 0$ 等价为：${a^2}{x^2} - \left( {3{a^2} - 8a} \right)x + \left( {2a - 3} \right)\left( {a - 5} \right) = 0$ 即：$\left[ {ax - \left( {2a - 3} \right)} \right]\left[ {ax - \left( {a - 5} \right)} \right] = 0$ 对于（1），当a=3时，${x_1} = 1,{x_2} = - \frac{2}{3}$，成立 对于（2），当a=5时，${x_1} = \frac{7}{5},{x_2} = 0$，成立 ∴选D
22. 等差数列$\{ {a_n}\} $的前18项和${S_{18}} = \frac{{19}}{2}$. (1) ${a_3} = \frac{1}{6},{a_6} = \frac{1}{3}$. (2) ${a_3} = \frac{1}{4},{a_6} = \frac{1}{2}$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 对于条件（1）${a_3} = \frac{1}{6}\;,{a_6} = \frac{1}{3}$ , ∴ ${a_1} = \frac{1}{{18}},d = \frac{1}{{18}}$ ∴ ${S_{18}} = 18{a_1} + \frac{{18 \times 17}}{2} \cdot d = 1 + \frac{{17}}{2} = \frac{{19}}{2}$ ,成立. 对于条件(2)${a_3} = \frac{1}{4},{a_6} = \frac{1}{2}$， ∴${a_1} = \frac{1}{{12}},d = \frac{1}{{12}}$ ∴${S_{18}} = 18{a_1} + \frac{{18 \times 17}}{2} \cdot d = \frac{3}{2}{\rm{\;}} + \frac{{17}}{4}$,不成立. ∴选A.
23. 三角形ABC是等边三角形. (1) 三角形ABC的三边满足${a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ac$. (2) 三角形ABC的三边满足${a^3} - {a^2}b + a{b^2} + a{c^2} - {b^2} - b{c^2} = 0$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 对于（1），${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0$ ${a^2} + {b^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} - 2bc + {a^2} + {c^2} - 2ac = 0$ ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0$ ∴ $a = b = c$ $\Delta ABC$是等边三角形成立 对于（2），$\begin{array}{l} {a^3} - {a^2}b + a{b^2} + a{c^2} - {b^2} - b{c^2} = 0\\ ({a^2} + {c^2})(a - b) + {b^2}(a - 1) = 0 \end{array}$ 不能得出$a = b = c$，不成立 ∴选A
24. 圆${(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = 25$与圆${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = {r^2}(r > 0)$相切. (1) $r = 5 \pm 2\sqrt 3 $. (2) $r = 5 \pm 2\sqrt 2 $.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 圆${C_1}:\left( {3,4} \right),{r_1} = 5$ 圆${C_2}:\left( {1,2} \right),{r_2} = r$ 两圆心之间的距离$d = \sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(4 - 2)}^2}} = 2\sqrt 2 $ 对于（1）${r_2} = r = 5 \pm 2\sqrt 2 $ ${\rm{\;}}d \ne {r_1} + {r_2}$，$d \ne \left| {{r_1} + {r_2}} \right|$∴不相切 对于（2）${r_2} = r = 5 \pm 2\sqrt 2 $ $\;d = \left| {{r_1} - {r_2}} \right|$成立. ∴两圆内切 ∴选B
25. 命中来犯敌机的概率是99%. (1) 每枚导弹命中率为0.6 (2) 至多同时向来犯敌机发射4枚导弹.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 对于（1） 命中率为0.6，不中为0.4 对于（2） 至多同时发射4枚 ∴命中概率=1-不中概率 =$1 - {(0.4)^4} = 1 - 0.0256 = 0.9744 \ne 99\% $ ∴选E
