单项选择题
1. 若实数a，b，c满足a：b：c=1：2：5，且a+b+c=24，则${a^2} + {b^2} + {c^2} = $（ ）
（A）
30
（B）
90
（C）
120
（D）
240
（E）
270
答案：E
解析：基本公式法 $a:b:c = 1:2:5$ 令$a = k,b = 2k,c = 5k$ . ∴$a + b + c = k + 2k + 5k = 8k = 24$ ∴$k = 3$ ∴$a = 3,b = 6,c = 15$ ∴选E
2. 某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门的人数是甲部门的2倍；如果乙部门的$\frac{1}{5}$调到甲部门，那么两个部门的人数相等，该公司的总人数为（ ）
（A）
150
（B）
180
（C）
200
（D）
240
（E）
250
答案：D
解析：基本公式法 设甲部门有x人，乙部门有y人.根据题意可得 $\frac{{y + 10}}{{x - 10}} = 2$ $x + \frac{y}{5} = \frac{4}{5}y$ 可解得： $x = 90$、$y = 150$ $x + y = 240$ ∴选D
3. 设$m,n$是小于20的质数，满足条件$\left| {m-n} \right| = 2$的$\left\{ {m,n} \right\}$共有（ ）组.
（A）
2
（B）
3
（C）
4
（D）
5
（E）
6
答案：C
解析：基本公式法 小于20的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 满足$\left| {m - n} \right| = 2$的有$\left\{ {3,5} \right\}\left\{ {5,7} \right\}\left\{ {11,13} \right\}\left\{ {17,19} \right\}$ ∴选C
4. 如图，$BC$是半圆的直径，且$BC = 4$，$\angle ABC = 30^\circ $，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A）
$\frac{4}{3}\pi {\rm{ - }}\sqrt 3 $
（B）
$\frac{4}{3}\pi {\rm{ - 2}}\sqrt 3 $
（C）
$\frac{2}{3}\pi {\rm{ + }}\sqrt 3 $
（D）
$\frac{2}{3}\pi {\rm{ + 2}}\sqrt 3 $
（E）
$2\pi {\rm{ - 2}}\sqrt 3 $
答案：A
解析：
5. 在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩为80，81，81.5，三个班的学生分数之和为6952，三个班共有学生（ ）
（A）
85
（B）
86
（C）
87
（D）
88
（E）
90
答案：B
解析：基本公式法 甲、乙、丙平均成绩为80，81，81.5 $\therefore $总平均成绩一定介于80 - 81.5之间 $\therefore $总人数一定介于$\frac{{6952}}{{81.5}} \sim \frac{{6952}}{{80}}$之间 即： $85.3 \sim 86.9$（人数必须为整数) ∴选B
6. 有一根圆柱形铁管，厚度为0.1m，内径为1.8m，长度为2m，若将其熔化后做成长方体，则长方体的体积为（ ）
（A）
0.38
（B）
0.59
（C）
1.19
（D）
5.09
（E）
6.28
答案：C
解析：基本公式法 内管半径为$\frac{{1.8}}{2} = 0.9$米，外管半径为$0.9 + 0.1 = 1$米 长方体体积为：$\pi \times {1^2} \times 2 - \pi \times {0.9^2} \times 2 = 0.38\pi $≈1.19 ∴选C
7. 某人驾车从A地赶往B地，前一半路程比计划多用了45分钟，速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间到达B地，则A、B两地距离为（ ）
（A）
450
（B）
480
（C）
520
（D）
540
（E）
600
答案：D
解析：基本公式法 根据题干得 $\frac{{\frac{s}{2}}}{{0.8v}} = \frac{{\frac{s}{2}}}{v} + \frac{3}{4}$ ①，前一半，多用45分钟 $\frac{{\frac{s}{2}}}{{120}} = \frac{{\frac{s}{2}}}{v} - \frac{3}{4}$ ②，后一半，少用45分钟 由①可得：${\rm{\;}}\frac{s}{v}\left( {\frac{1}{{1.6}} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}$， 即$\frac{s}{v} = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ 代入②可得： $\frac{s}{{240}} = \frac{6}{2} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ $s = 540$ ∴选D
8. 如图，梯形ABCD的上底与下底分比为5，7，E为AC和BD的交点，MN过点E且平行于AD，则MN=（ ）
（A）
$\frac{{26}}{5}$
（B）
$\frac{{11}}{2}$
（C）
$\frac{{35}}{6}$
（D）
$\frac{{35}}{7}$
（E）
$\frac{{40}}{7}$
答案：C
解析：基本公式法 $\Delta ADE \sim \Delta CBE$ $\Delta ADE \sim \Delta CBE$ ∴$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{7}{{12}}$ $\frac{{DE}}{{BD}} = \frac{5}{{12}}$ $\Delta BME \sim \Delta BAD$ ∴$\frac{{ME}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{7}{{12}}$ $\Delta DNE \sim \Delta DBC$ ∴$\frac{{NE}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{BD}} = \frac{5}{{12}}$ ∴$MN = ME + NE = AD \cdot \frac{7}{{12}} + BC \cdot \frac{5}{{12}} = \frac{{35}}{6}$ ∴选C
9. 已知${x_1}{x_2}$是方程${x^2}-ax-1 = 0$的两个实根，则${x_1}^2 + {x_2}^2 = $（ ）
（A）
$a + 2$
（B）
${a^2} + 1$
（C）
${a^2} - 1$
（D）
${a^2} - 2$
（E）
${a^2} + 2$
答案：E
解析：基本公式法 ${x_1},{x_2}$ 是${x^2} - ax - 1 = 0$的两根 ∴${x_1} + {x_2} = a$ ${x_1}{x_2} = - 1$ $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {a^2} + 2$ ∴选E
10. 一件工作，甲、乙合作需要2天，人工费2900元，乙丙两个人合作需要4天，人工费2600元，甲、丙两人合作2天完成全部工作量的$\frac{5}{6}$，人工费2400元，则甲单独完成这件工作需要的时间与人工费为（ ）
（A）
3天，3000元
（B）
3天，2580元
（C）
3天，2700元
（D）
4天，3000元
（E）
4天，2900元
答案：A
解析：基本公式法 设甲，乙，丙单独完成分别需要x,y,z天，每天人工费为a,b,c 由题意可得： $\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1$ $\frac{4}{y} + \frac{4}{z} = 1$ $\frac{2}{x} + \frac{2}{z} = \frac{5}{6}$ ∴$x = 3,y = 6,z = 12$ ∴$2a + 2b = 2900$ $4b + 4c = 2600$ $2a + 2c = 2400$ ∴$a = 1000,b = 450,c = 200$ ∴选A
11. 若直线$y = ax$，与圆$\left( {x-a} \right) + {y^2} = 1$相切，则${a^2} = $（ ）
（A）
$\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\;$
（B）
$1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;$
（C）
$\frac{{\sqrt 5 }}{2}$
（D）
$1 + \frac{{\sqrt 5 }}{2}$
（E）
$\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
答案：E
解析：基本公式法 $d = \frac{{\left| {{a^2} - 0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 1$ ∴${a^4} - {a^2} - 1 = 0$ ${a^2} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ 或${a^2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$(舍去) ∴选E
12. 设点A(0，2)和B(1，0)，在线段AB上取一点M(x，y)（0
（A）
$\frac{5}{8}$
（B）
$\frac{1}{2}$
（C）
$\frac{3}{8}$
（D）
$\frac{1}{4}$
（E）
$\frac{1}{8}$
答案：B
解析：基本公式法 AB所在直线方程为：$x + \frac{y}{2} = 1$，即$2x + y = 2$ $S = xy = \frac{{2xy}}{2} \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {2x + y \ge 2\sqrt {2xy} } \right)$ ∴选B
13. 某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q，在2009年末至2013年末产值的年平均增长率比前四年下降了40%，2013年末产值约为2005年产值的14.46（≈${1.95^4}$）倍，则q为（ ）
（A）
30%
（B）
35%
（C）
40%
（D）
45%
（E）
50%
答案：E
解析：基本公式法 设2005年产值为x，则2009年产值为$x{\left( {1 + q} \right)^4}$ 2009年至2013年产值增长率为$0.6 \times q$，则 2013年产值为$x{\left( {1 + q} \right)^4}{\left( {1 + 0.6 \times q} \right)^4}$ 即$\frac{{x{{\left( {1 + q} \right)}^4}{{\left( {1 + 0.6 \times q} \right)}^4}}}{x} = {\left( {1 + q} \right)^4}{\left( {1 + 0.6 \times q} \right)^4} = 14.46 = {1.95^4}$ ∴$\left( {1 + q} \right)\left( {1 + 0.6 \times q} \right) = 1.95$ 即$12{q^2} + 32q - 19 = 0$ $\therefore q = \frac{1}{2}$或$q = - \frac{{19}}{6}$（舍去） ∴选E
14. 某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军. 选手之间相互获胜的概率如下， 则甲获得冠军的概率为（ ）
（A）
0.165
（B）
0.245
（C）
0.275
（D）
0.315
（E）
0.33
答案：A
解析：基本公式法 2种情况：（1）甲胜乙，丙胜丁，甲胜丙，即$0.3 \times 0.5 \times 0.3$ （2）甲胜乙，丁胜丙，甲胜丁，即$0.3 \times 0.5 \times 0.8$ ∴$P = 0.3 \times 0.5 \times 0.3 + 0.3 \times 0.5 \times 0.8 = 0.15 \times 1.1 = 0.165$ ∴选A
15. 平面上有5条平行直线，与另一组n条平行直线垂直，若两组平行线共构成280个矩形，则n=（ ）
（A）
5
（B）
6
（C）
7
（D）
8
（E）
9
答案：D
解析：基本公式法 5条平行线中任选2条，在另一组n条平行线中任取2条，即可组成矩形 ∴$C_5^2C_n^2 = 280$ ∴$n = 8$ ∴选D
16. 圆盘${x^2} + {y^2} \le 2(x + y)$被直线L分成面积相等的两部分. (1)L:x+y=2. (2)L:2x-y=1.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 圆盘${x^2} + {y^2} \le 2\left( {x + y} \right)$被直线L平分 说明L过圆盘中心（1,1）点 对于（1）$L:x + y = 2$，显然过（1,1）点，成立 对于（2）$L:2x - y = 1$，显然也过（1,1）点，成立 ∴选D
17. 已知$a,b$为实数，则$a \ge 2$或$b \ge 2$. (1)$a + b \ge 4$. (2)$ab \ge 4$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：A
解析：基本公式法 对于（1）$a + b \ge 4$，说明a,b至少有1个比2大 ∴$a \ge 2$或$b \ge 2$成立 对于（2）$ab \ge 4$，当$a,b$都小于0时，也成立 但是$a \ge 2$或$b \ge 2$显然不成立 ∴选A
18. 已知p，q为非零实数，则能确定$\frac{p}{{q(p - 1)}}$的值. (1)p+q=1. (2)$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 对于（1）$p + q = 1$，则$q = 1 - p$ ∴$\frac{p}{{q\left( {p - 1} \right)}} = \frac{p}{{\left( {1 - p} \right)\left( {p - 1} \right)}} = \frac{p}{{ - {{\left( {p - 1} \right)}^2}}}$， 不能确定其值，不成立 对于（2）$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则$p + q = pq$ ∴$\frac{p}{{q\left( {p - 1} \right)}} = \frac{p}{{qp - q}} = \frac{p}{{p + q - q}} = 1$，成立 ∴选B
19. 信封中装有10张奖券，只有一张有奖。从信封中同时抽取2张，中奖概率为P；从信封中每次抽取1张奖券后放回，如此重复抽取n次，中奖概率为Q，则P
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 从10张奖券中同时抽取2张奖券，中奖概率$P = \frac{{C_1^1C_9^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{5}$ 从信封中每次抽取1张奖券后放回，如此重复n次 中奖概率$Q = 1 - {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^n} = 1 - {0.9^n}$ 对于（1）$n = 2$时，$Q = 1 - {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^2} = 0.19,Q < P$， 不成立 对于（2）时，$n = 3$，$Q = 1 - {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^3} = 0.271,Q > P$成立 ∴选B
20. 设$\left\{ {{a_n}} \right\}$是等差数列，则能确定数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$. （1）${a_1} + {a_6} = 0$. （2）${a_1}{a_6} = - 1$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 要想确定一个数列，至少需要2个条件0 显然对于（1）与（2）单独不能成立 联立（1）与（2） ${a_1} + {a_6} = 0$ ${a_1}{a_6} = - 1$ 可得${a_1} = - 1$,${a_6} = 1$或${a_1} = 1$,${a_6} = - 1$ 显然有2种可能，不能唯一确定$\left\{ {{a_n}} \right\}$，∴不成立 ∴选E
21. 已知$M = \left( {{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right)\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n}} \right)$ ，$N = \left( {{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}} \right)\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right)$. 则M>N. (1)${a_1} > 0$. (2)${a_1}{a_n} > 0$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：B
解析：基本公式法 $M = \left[ {{a_1} + \left( {{a_2} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right)} \right]\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n}} \right)$ $ = {a_1}\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n}} \right) + \left( {{a_2} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right)\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n}} \right)$ $N = \left[ {{a_1} + \left( {{a_2} + \cdots + {a_n}} \right)} \right]\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right)$ $ = {a_1}\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right) + \left( {{a_2} + \cdots + {a_n}} \right)\left( {{a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{n - 1}}} \right)$ 对于（1）${a_1} > 0$，显然不成立 对于（2）${a_1}{a_n} > 0$，∴$M - N > 0$,即$M > N$成立 ∴选B
22. 几个朋友外出游玩，购买了一些瓶装水，则能确定购买的瓶装水数量. (1) 若每人分3瓶，则剩余30瓶. (2) 若每人分10瓶，则只有1人不够.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 （1）与（2）单独显然不成立，联合（1）与（2）可得： 设有x人，则$10\left( {x - 1} \right) \le 3x + 30 < 10x$，即$\frac{{30}}{7} < x \le \frac{{40}}{7}$ ∴$x = 5$，即总共有：$3 \times 5 + 30 = 45$瓶，成立 ∴联合选C
23. 已知$\left\{ {{a_n}} \right\}$是公差大于零的等差数列，${S_n}$是$\left\{ {{a_n}} \right\}$的前n项和，则${S_n} \ge {S_{10}},n = 1,2 \cdots $ (1) ${a_{10}} = 0$. (2) ${a_{11}}{a_{10}} < 0$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：D
解析：基本公式法 对于条件（1）${a_{10}} = 0$，因为$d > 0$， ∴${a_{11}},{a_{12}} \cdots > 0$ ∴${S_n} > {S_{10}}$成立 对于条件（2）${a_{11}}{a_{12}} < 0$，$d > 0$ ∴${a_{10}} < 0,{a_{11}} > 0$ ∴${S_n} > {S_{10}}$成立 ∴选D
24. 底面半径为r，高为h的圆柱体表面积记为${S_1}$，半径为R的球体表面积记为${S_2}$，则${S_1} \le {S_2}$. （1）$R \ge \frac{{r + h}}{2}$. （2）$R \le \frac{{2h + r}}{3}$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 ${S_1} = \pi {r^2} + \pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi r\left( {r + h} \right)$ ${S_2} = 4\pi {R^2}$ 可得：$2\pi r\left( {r + h} \right) \le 4\pi {R^2}$， 即$R \ge \frac{{\sqrt {2r\left( {r + h} \right)} }}{2}$ 对于（1）$\frac{{{{\left( {r + h} \right)}^2}}}{4} - \frac{{2r\left( {r + h} \right)}}{4} = \frac{{{h^2} - {r^2}}}{4}$，不成立（r与h大小未知） 对于（2）显然也不成立 联立（1）与（2），$\frac{{r + h}}{2} \le R \le \frac{{r + 2h}}{3}$， 可得$h \ge r$，成立 ∴联合选C
25. 已知${x_1},{x_2},{x_3}$都是实数，$x$为${x_1},{x_2},{x_3}$的平均数，则$\left| {{x_k} - \bar x} \right| \le 1$，k=1,2,3. (1) $|{x_k}| \le 1,k = 1,2,3$. (2) ${x_1} = 0$.
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：C
解析：基本公式法 对于（1）${x_1} = - 1,{x_2} = - 1,{x_3} = 1,\bar x = - \frac{1}{3}$， 则$\left| {{x_3} - \bar x} \right| = \frac{4}{3}$，不成立 对于（2）${x_1} = 0,\bar x$未知，显然不成立 联立（1）与（2）${x_1} = 0,\left| {{x_k}} \right| \le 1\left( {k = 2,3} \right),$ ∴$\left| {{{\bar x}_k}} \right| \le \frac{2}{3}$， 即$\left| {{x_1} - \bar x} \right| \le 1,\left| {{x_2} - \bar x} \right| = \left| {{x_2} - \frac{{{x_2} + {x_3}}}{3}} \right| = \frac{{\left| {2{x_2} - {x_3}} \right|}}{3}$， 而$ - 3 \le 2{x_2} - {x_3} \le 3$ ∴$\left| {{x_2} - \bar x} \right| \le 1$ 同理$\left| {{x_3} - \bar x} \right| \le 1$也成立 ∴联合选C
