单项选择题
1. 如果方程$\left| x \right| = ax + 1$有一个负根，那么$a$的取值范围是（ ）
（A）
$a < 1$
（B）
$a = 1$
（C）
$a > - 1$
（D）
$a < - 1$
（E）
以上结论均不正确
答案：C
解析：基本公式法 方程有一个负根，$\left| x \right| = - x$ 即${\rm{ - x = ax + 1}}$ ∴$x = \frac{1}{{ - 1 - a}}$ ∴$\frac{1}{{ - 1 - a}} < 0$ 即$ - 1 - a < 0$ ∴$a > - 1$ ∴选C
2. 设变量${x_1},{x_2},...,{x_{10}}$的算术平均值为$\overline x $。若$\overline x $为定值，则诸${x_i}$$(i = 1,2,...,10)$中可以任意取值的变量有（ ）
（A）
10个
（B）
9个
（C）
2个
（D）
1个
（E）
0个
答案：B
解析：基本公式法 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_{10}}{\rm{ = }}10\bar x$ $\overline x $为定值，${x_1},{x_2},...,{x_{10}}$和为定值 所以${x_i}$中可以任意取值的有9个，最后一个要根据其他数值的变化来保证和为定值 ∴选B
3. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑（假设他们的速度不变），甲到达终点时，乙距终点还差10米，丙距终点还差16米。那么乙到达终点时，丙距终点还有（ ）
（A）
$\frac{{22}}{3}$米
（B）
$\frac{{20}}{3}$米
（C）
$\frac{{15}}{3}$米
（D）
$\frac{{10}}{3}$米
（E）
以上结论均不正确
答案：B
解析：基本公式法 乙跑了90米，丙跑了84米 ∴乙跑10米，丙跑$\frac{{84}}{9} = \frac{{28}}{3}$米 ∴丙剩余：$100 - 84 - \frac{{28}}{3} = \frac{{20}}{3}$m ∴选B
4. 修一条公路，甲队单独施工需要40天完成，乙队单独施工需要24天完成。现两队同时从两端开工，结果在距该路中点7.5公里处会合完工。则这条公路的长度为（ ）
（A）
60公里
（B）
70公里
（C）
80公里
（D）
90公里
（E）
100公里
答案：A
解析：基本公式法 设公路长度为xkm,其中甲完成了$\frac{x}{2} - 7.5$,乙完成了$\frac{x}{2} + 7.5$ 甲与乙效率比为$\frac{1}{{40}}$:$\frac{1}{{24}}$=24:40=3:5 ∴$\frac{{\frac{x}{2} - 7.5}}{{\frac{x}{2} + 7.5}} = \frac{3}{5}$ ∴$x = 60$ ∴选A
5. 某自来水公司的水费计算方法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费4元，超过5吨的，每吨收取较高标准的费用。已知9月份张家的用水量比李家的用水量多50%，张家和李家的水费分别是90元和55元，则用水量超过5吨的收费标准是（ ）
（A）
5元/吨
（B）
5.5元/吨
（C）
6元/吨
（D）
6.5元/吨
（E）
7元/吨
答案：E
解析：基本公式法 设李家用水量为m吨，则张家用水量为1.5m 用水量超过5吨收费标准为n元/吨 由题意可得： $5 \times 4 - \left( {m - 5} \right)n = 55$ $5 \times 4 - \left( {1.5m - 5} \right)n = 90$ 等价于 $mn - 5n = 35$ $1.5mn - 5n = 70$ 可解得：n=7元/吨 ∴选E
6. 设罪犯与警察在一开阔地上相隔一条宽0.5公里的河，罪犯从北岸A点处以每分钟1公里的速度向正北逃窜，警察从南岸B点以每分钟2公里的速度向正东追击（如图），则警察从B点到达最佳射击位置（即罪犯与警察相距最近的位置）所需的时间是（ ）。
（A）
$\frac{3}{5}$分
（B）
$\frac{5}{3}$分
（C）
$\frac{{10}}{7}$分
（D）
$\frac{7}{{10}}$分
（E）
$ - \frac{3}{5}$分
答案：D
解析：基本公式法 ${\left| {AB} \right|^2} = {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {t + 0.5} \right)^2}$（B向C运动，B到C距离为2-2t，A向北运动，A到C距离为t+0.5） =$5{t^2} - 7t + 4.25$ 开口向上抛物线，当t=$\frac{7}{{2 \cdot 5}} = \frac{7}{{10}}$时，|AB|最小 ∴选D
7. 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03。现任选5人，则至多一人血型为O型的概率约为（ ）。
（A）
0.045
（B）
0.196
（C）
0.201
（D）
0.241
（E）
0.461
答案：D
解析：基本公式法 O型血：0.46，非O型血：0.54 P（至多一人血型为 型）=P（0名 型）+P（1名 型) =${\left( {0.54} \right)^5}{\rm{ + }}C_5^10.46 \times {\left( {0.54} \right)^4}{\rm{ = }}0.241$ ∴选D
8. 方程$\sqrt {x - p} = x$有两个不相等的正根。 （1）$p \ge 0$ （2）$p < \frac{1}{4}$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 $\sqrt {x - p} = x$ 即${x^2} - x + p = 0$有两个不等正根 故 $\Delta > 0$ ${x_1}{x_2} > 0$ ∴$\left\{ {_{p > 0}^{1 - 4p > 0}} \right.$ ∴$0 < p < \frac{1}{4}$ 对于（1）$p \ge 0$，（2）$p < \frac{1}{4}$ 很显然单独或联立都不成立 所以选E
9. 整数数列$a,b,c,d$中$a,b,c$成等比数列， $b,c,d$成等差数列。 （1）$b = 10,\quad d = 6a$ （2）$b = - 10,\quad d = 6a$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C）
条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分
（E）
条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
答案：E
解析：基本公式法 对于（1）$b = 10,\quad d = 6a$ （2）$b = - 10,\quad d = 6a$ 都没有确定c的值 所以$a,b,c$成等比数列，$b,c,d$成等差数列，都无法确定 ∴选E
