单项选择题
1. 奖金发给甲、乙、丙、丁四人，其中$\frac{1}{5}$发给甲，$\frac{1}{3}$发给乙，发给丙的奖金数正好是甲，乙奖金之差的3倍，已知发给丁的奖金为200元，则这批奖金当为（ ）
（A）
1500元
（B）
2000元
（C）
2500元
（D）
3000元
（E）
3500元
答案：D
解析：基本公式法 丙的比例为：$3 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$ ∴丁的比例为：$1{\rm{ - }}\frac{1}{5}{\rm{ - }}\frac{1}{3}{\rm{ - }}\frac{2}{5}{\rm{ = }}\frac{1}{{15}}$ ∴总数为：$\frac{{200}}{{\frac{1}{{15}}}}{\rm{ = }}3000$元 ∴选D
2. 公司有职工50人，理论知识考核平均成绩为81分，按成绩将公司职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则非优秀职工的人数为（ ）
（A）
30人
（B）
25人
（C）
20人
（D）
15人
（E）
10人
答案：A
解析：基本公式法 设优秀职工m人，非优秀职工n人 由题意可得： $m + n = 50$ $90m + 75n = 50 \times 81$ 可得：$m = 20,n = 30$ ∴选A 特殊技巧法—十字交叉法 优秀 90 81-75=6 81 非优秀 75 90-81=9 ∴优秀/非优秀=$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ∴优秀为：50×$\frac{2}{5}$=20人 非优秀为：50×$\frac{3}{5}$=30人 ∴选A
3. 公司的一项工程由甲、乙两队合作6天完成，公司需付8700元，由乙、丙两队合作10天完成，公司需付9500元，甲、丙两队合作7.5天完成，公司需付8250元，若单独承包给一个工程队并且要求不超过15天完成全部工作，则公司付钱最少的队是（ ）
（A）
甲队
（B）
丙队
（C）
乙队
（D）
乙或丙队
（E）
不能确定
答案：A
解析：基本公式法 设甲需要x天完成，每天费用为m元 乙需要y天完成，每天费用为n元 丙需要z天完成，每天费用为t元 由题意可得： $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{10}}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{7.5}}$ $6\left( {m + n} \right) = 8700$ $10\left( {n + t} \right) = 9500$ $7.5\left( {t + m} \right) = 825$ 可得：$x = 10,y = 15,z = 30$ $m = 800,n = 650,t = 300$ 若甲做需要费用为：10×800=8000元 乙做需要费用为：15×650=9750元 ∴选A
4. 某厂生产的一批产品经产品检验，优等品与二等品的比是5：2，二等品与次品的比是5：1，则该批产品的合格率（合格品包括优等品与二等品）为（ ）
（A）
0.92
（B）
0.923
（C）
0.946
（D）
0.96
（E）
0.98
答案：C
解析：基本公式法 优等品：二等品 = 5：2 = 25：10（两边乘以5） 二等品：次品 = 5：1 = 10：2（两边乘以2） ∴串起来：优等品：二等品：次品 = 25：10：2 ∴P(（合格）)=$\frac{{25{\rm{ + }}10}}{{25{\rm{ + }}10{\rm{ + 2}}}}{\rm{ = }}0.946{\rm{ = }}94.6{\rm{\% }}$ ∴选C
5. 设$\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z} = 4:5:6$，则使x+y+z=74成立的y值是（ ）
（A）
24
（B）
36
（C）
$\frac{{74}}{3}$
（D）
$\frac{{37}}{2}$
（E）
42
答案：A
解析：基本公式法 $\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z} = 4:5:6$ $x:y:z = \frac{1}{4}:\frac{1}{5}:\frac{1}{6} = 15:12:10$（同乘最小公倍数60） ∴$y = 74 \times \frac{{12}}{{15 + 12 + 10}} = 24$ ∴选A
6. 已知关于x的方程${x^2} - 6x + (a - 2)|x - 3| + 9 - 2a = 0$有两个不同的实数根，则系数a的取值范围是（ ）
（A）
$a > 0$
（B）
$a < 0$
（C）
$a > 0$或a=-2
（D）
$a = - 2$
（E）
$a < 0$或$a = - 2$
答案：C
解析：基本公式法 ${x^2} - 6x + (a - 2)|x - 3| + 9 - 2a = 0$ 即 $|x - 3{|^2} + (a - 2)|x - 3| - 2a = 0$ 令$|x - 3| = t$, ∴${t^2} + \left( {a - 2} \right)t - 2a = 0$ x有两个不同的实数根，意味着t必须有一个正根 ∴t共有两种可能，一正一负或两个相等的正根 t一正一负，开口向上，只要当t=0时，$f(t) < 0$即可 $ - 2a < 0$ $a > 0$ t两个相等的正根, $\Delta = 0$ $ - \left( {a - 2} \right) > 0$ $ - 2a > 0$ ∴a = - 2 ∴$a > 0$或$a = - 2$ ∴选C
7. 已知方程$3{x^2} + 5x + 1 = 0$的两个根为$\alpha $,$\beta $ ，则$\sqrt {\frac{\beta }{\alpha }} + \sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} $ =（ ）
（A）
$ - \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$
（B）
$\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$
（C）
$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$
（D）
$ - \frac{{\sqrt 3 }}{5}$
（E）
$ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
答案：B
解析：基本公式法 $\alpha + \beta = - \frac{5}{3}$,$\alpha \beta = \frac{1}{3}$ ∴$\alpha ,\beta $同时为负 ∴$\sqrt {\frac{\beta }{\alpha }} {\rm{ + }}\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} {\rm{ = }}\frac{{\left| \alpha \right|{\rm{ + }}\left| \beta \right|}}{{\sqrt {\alpha \beta } }}{\rm{ = }}\frac{{ - \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\sqrt {\alpha \beta } }} = \frac{{\frac{5}{3}}}{{\sqrt {\frac{1}{3}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ ∴选B
8. 已知a,b,c是不完全相等的任意实数，若$x = {a^2} - bc$,$y = {b^2} - ac$ ,$z = {c^2} - ab$,则x,y,z( )
（A）
都大于0
（B）
至少有一个大于0
（C）
至少有一个小于0
（D）
都不小于0
（E）
都小于0
答案：B
解析：基本公式法 ∴$x + y + z$ $ = {a^2} + b{\rm{2}} + c{\rm{2}} - bc - ac - ab$ $ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] > 0$ ∴x,y,z至少有1个正数 ∴选B
9. 设有两个数$\left\{ {\sqrt {\rm{2}} {\rm{ - }}1,a\sqrt 3 ,\sqrt 2 + 1} \right\}$ 和$\left\{ {\sqrt {\rm{2}} {\rm{ - }}1,\frac{{a\sqrt 6 }}{2},\sqrt 2 + 1} \right\}$ 则使前者成为等差数列、后者成为等比数列的实数a的值有（ ）
（A）
0个
（B）
1个
（C）
2个
（D）
3个
（E）
4个
答案：B
解析：基本公式法 等差中项：∴$2a\sqrt 3 = \left( {\sqrt 2 + 1} \right) + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ ∴$a = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ 等比中项：∴${\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ ∴$a = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ ∴$a = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ ∴选B
10. 方程$\frac{1}{{C_5^x}} - \frac{1}{{C_6^x}} = \frac{7}{{10C_7^x}}$ 的解是（ ）
（A）
4
（B）
3
（C）
2
（D）
1
（E）
0
答案：C
解析：特殊技巧法—特值代入法 当n=1时，∴$\frac{1}{{C_5^1}} - \frac{1}{{C_6^1}} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \ne \frac{7}{{10C_7^1}} = \frac{1}{{10}}$ 当n=2时，$\frac{1}{{C_5^2}} - \frac{1}{{C_6^2}} = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{{30}}$ $\frac{7}{{10C_7^2}} = \frac{7}{{10\cdot21}} = \frac{1}{{30}}$ 成立 ∴选C
11. 两线段MN与PQ不相交，线段MN上有6个点${A_1},{A_2},...,{A_6}$，线段PQ上有7个点${B_1},{B_2},...,{B_7}$，若将每一个${A_i}$和每一个${B_j}$连成不作延长的线${A_i}{B_j}$(i=1,2,...,6;j=1,2,....7),则由这些线段${A_i}{B_j}$相交而得到的交点最多有（ ）
（A）
315个
（B）
316个
（C）
317个
（D）
318个
（E）
319个
答案：A
解析：特殊技巧法—特值代入法 MN上6个点，PQ上7个点 MN上选2个，PQ上选2个，十字相连必然有1个交点 ∴共有$C_6^2C_7^2 = 15 \cdot 21 = 315$个 ∴选A
12. 在盛有10只螺母的盒子中有0只，1只，2只，....,10只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一只铜螺母，然后随机从盒中取出一只螺母，则这只螺母为铜螺母的概率是（ ）
（A）
$\frac{6}{{11}}$
（B）
$\frac{5}{{10}}$
（C）
$\frac{5}{{11}}$
（D）
$\frac{4}{{11}}$
（E）
$\frac{4}{{10}}$
答案：A
解析：基本公式法 0只，1只，2只，....,10只是等可能的，每种可能性为$\frac{1}{{11}}$ ∴分11种情况： ∴${P_1} = \frac{1}{{11}} \times \frac{1}{{11}}$（原来0只） ${P_2}$=$\frac{1}{{11}} \cdot \frac{2}{{11}}$（原来1只） ${P_3}$=$\frac{1}{{11}} \cdot \frac{3}{{11}}$（原来2只） ⋮ ${P_{11}} = \frac{1}{{11}} \times \frac{{11}}{{11}}$ ∴$P = {P_1} + {P_2} + \cdots + {P_{11}} = \frac{1}{{11}} \times \frac{{1 + 2 + \cdots + 11}}{{11}} = \frac{6}{{11}}$ ∴选A
