单项选择题
1. 一商店把某商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若商品的进价为每件21元，则该商品每件的标价为（ ）
（A）
26元
（B）
28元
（C）
30元
（D）
32元
（E）
36元
答案：B
解析：基本公式法 设标价为x,则0.9x=21(1+20%) ∴x=28元 ∴选B
2. 两地相距351km，汽车已行驶了全程的$\frac{1}{9}$ ，试问再行驶（ ），剩下的路程是已行驶路程的5倍。
（A）
19.5km
（B）
21km
（C）
21.5km
（D）
22km
（E）
24km
答案：A
解析：基本公式法 剩下的路程是已行驶路程的5倍,∴已行驶为$\frac{1}{6}$ ∴再行驶距离为：$351 \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{9}) = 19.5$km ∴选A
3. 一公司向银行借款34万元，欲按$\frac{1}{2}$ ：$\frac{1}{3}$ ：$\frac{1}{9}$ 的比例分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造，则甲车间应得（ ）
（A）
17万
（B）
8万元
（C）
12万元
（D）
18万元
（E）
16万元
答案：D
解析：基本公式法 甲应得：$34 \cdot \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}}} = 18$万元 ∴选D
4. 某班同学在一次测验中，平均成绩为75分，其中男同学人数比女同学人数多80%，而女同学的平均成绩比男同学的高20%，则女同学的平均成绩为（ ）
（A）
83分
（B）
84分
（C）
85分
（D）
86分
（E）
87分
答案：B
解析：基本公式法 设女同学人数为m,男同学人数为1.8m 女同学平均成绩为n,男同学平均成绩为$\frac{n}{{1.2}}$ 由题意可得：$\frac{{m \cdot n + 1.8m \cdot \frac{n}{{1.2}}}}{{m + 1.8m}} = 75$ ∴$\left( {1 + \frac{{1.8}}{{1.2}}} \right)n = 75\left( {1 + 1.8} \right)$ ∴n = 84分 ∴选B
5. 已知$\left| a \right| = 5,\left| b \right| = 7$,$ab < 0$，则|a-b|=（ ）
（A）
2
（B）
-2
（C）
12
（D）
-12
（E）
10
答案：C
解析：基本公式法 $|a| = 5$,$|b| = 7$,$ab < 0$ $a = 5,b = - 7$ 或 $a = - 5,b = 7$ ∴$\left| {a - b} \right| = 12$ ∴选C
6. 已知关于x的一元二次方程${k^2}{x^2} - (2k + 1)x + 1 = 0$有两个相异实根，则k的取值范围为（ ）
（A）
$k > \frac{1}{4}$
（B）
$k \ge \frac{1}{4}$
（C）
$k > - \frac{1}{4}$且$k \ne 0$
（D）
$k \ge - \frac{1}{4}$且$k \ne 0$
（E）
$k \ne 0$
答案：C
解析：基本公式法 方程2个相异根，$\Delta > 0$ 即 ${(2k + 1)^2} - 4{k^2} > 0$ ∴$k > {\rm{ - }}\frac{1}{4}$且$k \ne 0$ （k=0，不是二次函数） ∴选C
7. 某人下午三点钟出门赴约，若他每分钟走60米，会迟到5分钟，若他每分钟走75米，会提前4分钟到达，所定的约会时间是下午（ ）
（A）
三点五十分
（B）
三点四十分
（C）
三点三十五分
（D）
三点半
（E）
三点二十分
答案：B
解析：基本公式法 设原来需要x分钟到达 根据路程相等可得：60(x+5)=75(x-4) ∴x=40 ∴选B
8. 设$0 < x < 1$,则不等式$\frac{{3{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}} > 1$的解是（ ）
（A）
$0 < x < \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
（B）
$\frac{1}{{\sqrt 2 }} < x < 1$
（C）
$0 < x < \sqrt {\frac{2}{3}} $
（D）
$\sqrt {\frac{2}{3}} < x < 1$
（E）
$\frac{1}{{\sqrt 2 }} < x < \sqrt {\frac{2}{3}} $
答案：A
解析：基本公式法 $\frac{{3{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}} > 1$等价于$\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} > 0$ （两边同除2，可得） $\therefore $$\frac{{\left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\left( {x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} > 0$ ∴$0 < x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ∴选A
9. 在等差数$\left\{ {an} \right\}$ 中，${a_3} = 2$,${a_{11}} = 6$；数列$\left\{ {bn} \right\}$ 是等比数列，若${b_2}{\rm{ = }}{a_3}$ ,${b_3} = \frac{1}{{{a_2}}}$ 则满足条件${b_n} > \frac{1}{{{a_{26}}}}$ 的最大的n是（ ）
（A）
3
（B）
4
（C）
5
（D）
6
（E）
7
答案：B
解析：基本公式法 ${a_3} = 2$,${a_{11}} = 6$,可得：8d=4,d=$\frac{1}{2}$,${a_2}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,${a_{26}} = 2 + 23 \cdot \frac{1}{2} = \frac{{27}}{2}$ ∴${b_2} = {a_3} = 2,{b_3} = \frac{1}{{{a_2}}} = \frac{2}{3}$ ∴$q = \frac{{{b_3}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{3}$ ∴${b_n} = {b_2}\cdot{q^{n - 2}} = 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 2}} > \frac{2}{{27}}$（$a < 1$，减函数） ∴$n < 5$ ∴选B
10. 若$2,{2^x} - 1,{2^x} + 3$成等比数列，则x=（ ）
（A）
${\log _2}5$
（B）
${\log _2}6$
（C）
${\log _2}7$
（D）
${\log _2}8$
（E）
${\log _2}9$
答案：A
解析：基本公式法 $2,{2^x} - 1,{2^x} + 3$成等比数列 即 ${({2^x} - 1)^2} = 2 \cdot ({2^x} + 3)$ ∴${\left( {{2^x}} \right)^2} - 4\cdot{2^x} - 5 = 0$ ∴$\left( {{2^x} - 5} \right)\left( {{2^x} + 1} \right) = 0$ ∴${2^x} = 5$或 ${2^x} = - 1$（舍去） ∴$x = lo{g_2}5$ ∴选A
11. 将4封信投入3个不同的邮箱，若4封信全部投完，且每个邮筒至少投入一封信，则共有投法（ ）
（A）
12种
（B）
21种
（C）
36种
（D）
42种
（E）
48种
答案：C
解析：基本公式法 每个邮筒至少投入一封信，说明其中1个邮筒有2封信 利用捆绑法 ∴总数为：$C_4^2A_3^3 = 6 \cdot 6 = 36$种（2封信放一起） ∴选C
12. 在共有10个座位的小会议室内随机坐6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是 （ ）
（A）
$\frac{1}{{14}}$
（B）
$\frac{1}{{13}}$
（C）
$\frac{1}{{12}}$
（D）
$\frac{1}{{11}}$
（E）
$\frac{1}{{10}}$
答案：A
解析：基本公式法 10个座位随机坐6名与会者，共有$A_{_{10}}^6 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$种 指定4个座位被坐，共有$C_6^4A_4^4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$种（$C_6^4$送出4个人） 剩余2人在剩余6个位置坐，共有$A_6^2 = 6 \cdot 5$种 ∴$P = \frac{{C_6^4A_4^4A_6^2}}{{A_{10}^6}} = \frac{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 6 \times 5}}{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}} = \frac{1}{{14}}$ ∴选A
13. 将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小相同的小正立方体，从这些小正立方体中随机抽取一个，则所取的小正立方体至少两面涂有红漆的概率是（ ）
（A）
0.064
（B）
0.216
（C）
0.288
（D）
0.352
（E）
0.368
答案：D
解析：基本公式法 在8个顶点外，有8个小正方体，3面涂有红色 每一条棱上，除了2个顶点，还有3个小正方体，2面涂有红色 共有12条棱，∴12×3=36个，2面涂有红色 ∴P(（至少两面红色）)=$\frac{{36 + 8}}{{125}} = \frac{{44}}{{125}} = 0.352$ ∴选D
14. 甲文具盒内有2支蓝色和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色和3支黑色笔，现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔，则最后取出的2支笔都是黑色笔的概率是（ ）
（A）
$\frac{{23}}{{70}}$
（B）
$\frac{{27}}{{70}}$
（C）
$\frac{{29}}{{70}}$
（D）
$\frac{3}{7}$
（E）
$\frac{{31}}{{70}}$
答案：A
解析：基本公式法 甲取2支蓝色概率为：${P_1} = \frac{{C_2^2}}{{C_5^2}} = \frac{1}{{10}}$ 放入乙后，乙变为4蓝3黑，乙取2支黑色概率为：${q_1} = \frac{{C_3^2}}{{C_7^2}} = \frac{3}{{21}} = \frac{1}{7}$ 甲取1蓝1黑概率为：${P_2} = \frac{{C_2^1C_3^1}}{{C_5^2}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$ 放入乙后，乙变为3蓝4黑，乙取2支黑色概率为：${q_2} = \frac{{C_4^2}}{{C_7^2}} = \frac{{12}}{{42}} = \frac{2}{7}$ 甲取2黑概率为：${P_3} = \frac{{C_3^2}}{{C_5^2}} = \frac{3}{{10}}$ 放入乙后，乙变为2蓝5黑，乙取2支黑色概率为：${q_3} = \frac{{C_5^2}}{{C_7^2}} = \frac{{20}}{{42}} = \frac{{10}}{{21}}$ ∴P(2黑）=$\frac{1}{{10}} \cdot \frac{1}{7} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} + \frac{3}{{10}} \cdot \frac{{10}}{{21}} = \frac{{23}}{{70}}$ ∴选A
