单项选择题
1. 一批图书放在两个书柜中，其中第一柜占55%，若从第一柜中取出15本放入第二柜内，则两书柜的书各占这批图书的50%，这批图书共有（ ）
（A）
200 本
（B）
260 本
（C）
300 本
（D）
360本
（E）
600本
答案：C
解析：基本公式法 55%变为50%，取出15本书 ∴总数为 $\frac{{15}}{{55\% - 50\% }} = 300$本 ∴选C
2. 一项工程由甲、乙两合作30天可完成。甲队单独做24天后，乙队加入，两队合作10天后，甲队调走，乙队继续做了17天才完成。若这项工程由甲队单独做，则需要( )
（A）
60 天
（B）
70 天
（C）
80 天
（D）
90 天
（E）
100 天
答案：B
解析：基本公式法 设甲效率为$\frac{1}{m}$,乙效率为$\frac{1}{n}$ 由题意可得： $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{{30}}$ $\frac{{34}}{m} + \frac{{27}}{n} = 1$ （甲共做了34天，乙共做了27天） 可得：$\left\{ {_{n = 5\sqrt 2 }^{m = 70}} \right.$ ∴选B
3. 若方程$({a^2} + {c^2}){x^2} - 2c(a + b)x + {b^2} + {c^2} = 0$有实根，则（ ）
（A）
a,b,c成等比数列
（B）
a,c,b成等比数列
（C）
a,b,c成等差数列
（D）
b,a,c成等差数列
（E）
以上答案均不正确
答案：B
解析：基本公式法 方程有实根，即$\Delta \ge 0$ ∴$4{c^2}{\left( {a + b} \right)^2} - 4\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \ge 0$ 即：${a^2}{b^2} - 2ab{c^2} \le 0$ ${(ab - c)^2} \le 0$ ∴$ab - c = 0$ ∴$ab = c$ ∴a,c,b成等比数列 ∴选B
4. 加工某产品需要经过5个工种，其中某一工种不能最后加工，试问可安排（ ）种工序。
（A）
96
（B）
102
（C）
112
（D）
92
（E）
86
答案：A
解析：基本公式法 最后加工有4种可能，剩余4个工种在前面4个位置全排列，$A_4^4$ ∴总计为：$4A_4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96$种 ∴选A
5. 一个两头密封的圆柱形水桶，水平横放时桶内有水部分占水桶一头圆周长的$\frac{1}{4}$ ，则水桶直立时水的高度与桶的高度之比值是（ ）
（A）
$\frac{1}{4}$
（B）
$\frac{1}{4}{\rm{ - }}\frac{1}{\pi }$
（C）
$\frac{1}{4}{\rm{ - }}\frac{1}{{2\pi }}$
（D）
$\frac{1}{8}$
（E）
$\frac{\pi }{4}$
答案：C
解析：基本公式法 设桶高为h,直立时水高为l 水平横放时，占周长$\frac{1}{4}$ ，圆心角为90° ∴S阴影=$\frac{1}{4}$ S圆-S$\Delta $ =$\frac{{\pi {r^2}}}{4} - \frac{{{r^2}}}{2}$ ∴$V = \left( {\frac{{\pi {r^2}}}{4} - \frac{{{r^2}}}{2}} \right)h$ 即直立时，$\pi {r^2}l = (\frac{{\pi {r^2}}}{4} - \frac{{{r^2}}}{2})h$ ∴$\frac{l}{h} = \frac{{\frac{{\pi {r^2}}}{4} - \frac{{{r^2}}}{2}}}{{\pi {r^2}}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{2\pi }}$ ∴选C
6. 已知直线$l1:(a + 2)x + (1 - a)y - 3 = 0$与直线$l2:(a{\rm{ - }}1)x + (2a + 3)y + 2 = 0$ 互相垂直，则a等于( )
（A）
-1
（B）
1
（C）
$ \pm 1$
（D）
${\rm{ - }}\frac{2}{3}$
（E）
0
答案：C
解析：基本公式法 两直线垂直，斜率乘积为-1 ${K_1} = \frac{{a + 2}}{{a - 1}},{K_2} = \frac{{1 - a}}{{2a + 3}}$ （a≠1的情况下） ∴${K_1}{K_2} = \frac{{a + 2}}{{2a + 3}} = 1$,即a=-1 当a=1时，${l_1}:3x - 3 = 0$即x=1 ${l_2}:5y + 2 = 0$即$y = - \frac{2}{5}$ 显然也是垂直的 ∴$a = \pm 1$ ∴选C
7. N件产品中D件是不合格，从这N件产品中任取2件，则恰有－件不合格的概率是 （ ）
（A）
$\frac{{DN}}{{N(N - 1)}}$
（B）
$\frac{{D(D - 1)}}{{N(N - 1)}}$
（C）
$\frac{{D(N - D)}}{{N(N - 1)}}$
（D）
$\frac{{D - 1}}{{2(N - D)}}$
（E）
$\frac{{2D(N - D)}}{{N(N - 1)}}$
答案：E
解析：基本公式法 N件中，D件不合格，（N-D）件不合格 ∴P（1合格1不合格） =$\frac{{C_D^1C_{(N - D)}^1}}{{C_N^2}} = \frac{{D(N - D}}{{\frac{{N(N - 1)}}{2}}} = \frac{{2D(N - D)}}{{N(N - 1)}}$ ∴选E
8. 设${A_1},{A_2},{A_3}$为三个独立事件，且$P({A_k}) = p(k = 1,2,3;0 < p < 1)$ 则这三个事件不全发生的概率是（ ）
（A）
${(1 - P)^3}$
（B）
$3(1 - P)$
（C）
${(1 - P)^3} + 3P(1 - P)$
（D）
$3P{(1 - P)^2} + 3{P^2}(1 - P)$
（E）
$3P{(1 - P)^2}$
答案：C
解析：基本公式法 ∴P（不全发生） =1-P（全发生）=$1 - {P^3}$ （立方差公式：${a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})$ $(1 - P)(1 + P + {P^2})$ $(1 - P)[{(1 - P)^2} + 3P]$ ${(1 - P)^3} + 3P(1 - P)$ ∴选C
9. 甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只，乙盒内有红球5只，黑球3只，丙盒内有黑球2只，白球2只，从这三个盒子的任意一个中任取一只球，它是红球的概率是（ ）
（A）
0.562
（B）
0.5
（C）
0.45
（D）
0.375
（E）
0.225
答案：D
解析：基本公式法 P（甲红） =$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，P（乙红） =$\frac{5}{8}$，P（丙红） =0 P（红） =$ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{9}{{24}} = 0.375$ ∴选D
10. 图中的字母代表元件种类，字母相同但下标不同的为同一类元件，已知A,B,C,D各类元件的正常工作概率是p,q,r,s且各元件的工作是相互独立的， 则此系统正常工作的概率为（ ）
（A）
${s^2}pqr$
（B）
${s^2}(p + q + r)$
（C）
${s^2}(1 - pqr)$
（D）
$1{\rm{ - (}}1{\rm{ - }}pqr)(1 - {s^2})$
（E）
${s^2}\left[ {1 - (1 - p)(1 - q)(1 - r)} \right]$
答案：E
解析：基本公式法 P（A,B,C至少有1个正常） =1-P（A,B,C全不正常） =$1 - (1 - p)(1 - q)(1 - r)$ P（系统正常） =${s^2}[1 - (1 - p)(1 - q)(1 - r)]$ ∴选E
11. 进行一系列独立的实验，每次试验成功的概率为p, 则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）
（A）
$4{{\rm{p}}^2}{(1 - p)^3}$
（B）
$4p{(1 - p)^3}$
（C）
$10{p^2}{(1 - p)^3}$
（D）
${p^2}{(1 - p)^3}$
（E）
${(1{\rm{ - }}p)^3}$
答案：A
解析：基本公式法 成功2次之前已经失败3次，意味着前4次共1次成功3次失败，且第5次成功 $P = C_4^1p{(1 - p)^3}p = = 4{p^2}{(1 - p)^3}$ ∴选A
12. 求和$Sn = 3 + 2 \times {3^2} + 3 \times {3^3} + 4 \times {3^4} + .... + n \times {3^n}$ 的结果为（ ）
（A）
$\frac{{3({3^n} - 1)}}{4} + \frac{{n*{3^n}}}{2}$
（B）
$\frac{{3(1{\rm{ - }}{3^n})}}{4} + \frac{{{3^{n + 1}}}}{2}$
（C）
$\frac{{3(1{\rm{ - }}{3^n})}}{4} + \frac{{(n + 2){3^n}}}{2}$
（D）
$\frac{{3({3^n} - 1)}}{4} + \frac{{{3^n}}}{2}$
（E）
$\frac{{3(1{\rm{ - }}{3^n})}}{4} + \frac{{n*{3^{n + 1}}}}{2}$
答案：E
解析：特值代入法 当n=1时,${S_1} = 3$，n=2时，${S_2} = 3 + 2 \cdot {3^2} = 21$ 把n=2代入5个迭代项中，可得：即$2{m^2} - 3m + 1 = 0$,∴$m = \frac{1}{2}$或m=1 A.15 B.$\frac{{15}}{2}$ C.12 D.$\frac{{21}}{2}$ E.21 ∴选E
13. 在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=$\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ ,且AB,AC的长分别是方程${x^2} - \sqrt 2 mx + \frac{{3m - 1}}{4} = 0$的两个根，则△ABC的面积为（ ）
（A）
$\frac{{\sqrt 5 }}{9}$
（B）
$\frac{{2\sqrt 5 }}{9}$
（C）
$\frac{{5\sqrt 5 }}{9}$
（D）
$\frac{{\sqrt 5 }}{3}$
（E）
$\frac{{\sqrt 5 }}{{18}}$
答案：A
解析：基本公式法 AB=AC,$\therefore $方程有2个相等实根，$\Delta = 0$ 即$2{m^2} - 3m + 1 = 0$,$\therefore m = \frac{1}{2}$或m=1 AB=AC=$\frac{{\sqrt 2 }}{2}m$=$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$或 $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$ AB+AC>BC ∴AB=AC=$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ∴$h = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{2} - \frac{2}{9}} = \frac{{\sqrt {10} }}{6}$ ∴$S = \frac{1}{2} \times \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \times \frac{{\sqrt {10} }}{6} = \frac{{\sqrt 5 }}{9}$ ∴选A
