单项选择题
1. 若某人以1000元购买A、B、C三种商品，且所有金额之比是1∶1.5∶2.5,则他购买A、B、C三种商品的金额（单位：元）依次是（ ）
（A）
100, 300, 600
（B）
150, 225, 400
（C）
150, 300, 550
（D）
200, 300, 500
（E）
200, 250, 550
答案：D
解析：基本公式法 A:B:C=1:1.5:2.5 ∴A占$\frac{1}{{1 + 1.5 + 2.5}} = \frac{1}{5}$,$1000 \times \frac{1}{5} = 200$元 B占$\frac{{1.5}}{{1 + 1.5 + 2.5}} = \frac{{1.5}}{5}$ $1000 \times \frac{{1.5}}{5} = 300$元 C占$\frac{{2.5}}{{1 + 1.5 + 2.5}} = \frac{{2.5}}{5}$ $1000 \times \frac{{2.5}}{5} = 500$元 ∴选D
2. 某地连续举办三场国际商业足球比赛, 第二场观众比第一场少了80%, 第三场观众比第二场减少了50%,若第三场观众仅有2500人, 则第一场观众有（ ）
（A）
15000人
（B）
20000人
（C）
22500人
（D）
25000人
（E）
27500人
答案：D
解析：基本公式法 设第一场观众为x人 则第二场观众为0.2x人 第三次观众为0.1x人 ∴$0.1x = 2500$， ∴x = 25000人 ∴选D
3. 银行的一年期定期存款利率为10%, 某人于1991年1月1日存入10000元, 1994年1月1日取出, 若按复利计算, 他取出时所得的本金和利息共计是（ ）
（A）
10300元
（B）
10303元
（C）
13000元
（D）
13310元
（E）
14641元
答案：D
解析：基本公式法 1991年1月1日-1994年1月1日，共计3年 复利计算，3年后共计为： $10000{\left( {1 + 0.1} \right)^3} = 13310$元 ∴选D
4. 用一条绳子量井深, 若将绳子折成三折来量, 则井外余绳4尺, 折成4折来量, 则井外余绳1尺, 故井深是（ ）
（A）
6 尺
（B）
7尺
（C）
8尺
（D）
9尺
（E）
12尺
答案：C
解析：基本公式法 设绳长m尺，井深n尺 根据题意可得： $\frac{m}{3} = n + 4$ $\frac{m}{4} = n + 1$ ∴可得$\frac{m}{3} - \frac{m}{4} = 3$.即m=36尺. ∴$n = \frac{{36}}{3} - 4 = 8$尺 ∴选C
5. 某商品打九折会使销售增加20%, 则这一折扣会使销售额增加的百分比是（ ）
（A）
0.18
（B）
0.1
（C）
0.08
（D）
0.05
（E）
0.02
答案：C
解析：基本公式法 设原价为m，销量为n. 则现价为0.9m，销量为1.2n. ∴销售额为：0.9m×1.2n=1.08mn. ∴销售额增加8% . ∴选C
6. ${x_1},{x_2}$是方程$6{x^2} - 7x + a = 0$的两个实根，若$\frac{1}{{{x_1}}}$和$\frac{1}{{{x_2}}}$的几何平均值为$\sqrt 3 $，则ａ的值为（ ）
（A）
2
（B）
3
（C）
4
（D）
–2
（E）
–3
答案：A
解析：基本公式法 $\frac{1}{{{x_1}}}$与 $\frac{1}{{{x_2}}}$的几何平均数为$\sqrt {\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}} = \sqrt 3 $ ∴${x_1}{x_2} = \frac{1}{3}$ 即$\frac{a}{6} = \frac{1}{3}$ ∴选A
7. 在直角三角形中，若斜边与一直角边的和为8，差为2，则另一直角边的长度是（ ）
（A）
3
（B）
4
（C）
5
（D）
10
（E）
9
答案：B
解析：基本公式法 设两直角边分别为a、b，斜边为c . ∴$\left\{ {_{c - a = 2}^{c + a = 8}} \right.$可得：$\left\{ {_{a = 3}^{c = 5}} \right.$ ∴$b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 4$ ∴选B
8. 一个长方体，长与宽之比是2:1，宽与高之比是3:2，若长方体的全部棱长之和是220厘米，则长方体的体积是（ ）
（A）
2880立方厘米
（B）
7200立方厘米
（C）
4600立方厘米
（D）
4500立方厘米
（E）
3600立方厘米
答案：D
解析：基本公式法 长：宽=2:1，宽：高=3:2 . ∴设长为6t ，宽为3t，高为2t . 所有棱长为：$4\left( {6t + 3t + 2t} \right) = 220$.(12条棱长宽高各4条）. 即$t = 5$ ∴$v = 6t \cdot 3t \cdot 2t = 36 \times {5^3} = 4500$ ∴选D
9. 如图1，C是以AB为直径的半圆上一点，再分别以AC和BC作为半圆，若AB=5，AC=3，则图中阴影部分的面积是（ ）
（A）
3$\pi $
（B）
4$\pi $
（C）
6$\pi $
（D）
6
（E）
4
答案：D
解析：基本公式法 S阴影=S半圆AC+S半圆BC-(S半圆AB-${S_{\Delta ABC}}$) $ = \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{4}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4$ =6 ∴选D
10. 若圆的方程是${y^2} + 4y + {x^2} - 2x + 1 = 0$,直线方程是3y+2x=1,则过已知圆的圆心并与已知直线平行的直线方程是（ ）
（A）
2y+3x+1=0
（B）
2y+3x-7=0
（C）
3y+2x+4=0
（D）
3y+2x-8=0
（E）
2y+3x-6=0
答案：C
解析：基本公式法 ${y^2} + 4y + {x^2} - 2x + 1 = 0$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4$ 圆心为（1，-2），r=2 与$3y + 2x = 1$平行直线，设为$3y + 2x = t$ (1,-2)带入可得：$ - 6 + 2 = - 4 = t$ ∴$3y + 2x = - 4$ ∴选C
11. 某公司的电话号码有5位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9的任意一个， 则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（ ）
（A）
126
（B）
1260
（C）
3024
（D）
5040
（E）
30240
答案：C
解析：基本公式法 第一位是5，其余四位除以5以为剩余9个数字全排列. 即$A_9^4 = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$ ∴选C
12. 一批灯泡共10只，其中有3只质量不合格，今从该批灯泡中随机取出5只，问： （1）这5只灯泡都合格的概率是（ ）
（A）
$\frac{7}{{36}}$
（B）
$\frac{5}{{24}}$
（C）
$\frac{1}{6}$
（D）
$\frac{5}{{36}}$
（E）
$\frac{1}{{12}}$
答案：E
解析：基本公式法 10只灯泡，3只不合格，7只合格. (1)P(5只合格)=(P满足要求（7合格选5）)\(全部可能（10个选5))=$\frac{{C_7^5}}{{C_{10}^5}} = \frac{{\frac{{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}}{{5!}}}}{{\frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}}{{5!}}}} = \frac{{5 \times 4 \times 3}}{{10 \times 9 \times 8}} = \frac{1}{{12}}$ ∴选E
13. 一批灯泡共10只，其中有3只质量不合格，今从该批灯泡中随机取出5只，问： （2)这5只灯泡中只有3只合格的概率是（ ）
（A）
$\frac{5}{{12}}$
（B）
$\frac{1}{{12}}$
（C）
$\frac{7}{{24}}$
（D）
$\frac{{11}}{{24}}$
（E）
$\frac{1}{6}$
答案：A
解析：基本公式法 P(3合格2不合格)=$\frac{{C_7^3C_3^2}}{{C_{10}^5}} = \frac{{\frac{{7 \times 6 \times 5}}{{3 \times 2}} \times \frac{{3 \times 2}}{2}}}{{\frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}}{{5 \times 4 \times 3 \times 2}}}} = \frac{5}{{12}}$ ∴选A
14. 一种编号由6位数字组成，其中每位数字可以是0,1,2,....9中的任意一个，求编码的前两位数字都不超过5的概率是（ ）
（A）
0.36
（B）
0.37
（C）
0.38
（D）
0.46
（E）
0.39
答案：A
解析：基本公式法 P(前2位不超过5)=(前2位有（0~5）共6种可能)\(前2位有（0~9）共10种可能)=$\frac{{6 \times 6}}{{10 \times 10}} = 0.36$ ∴选A
15. 已知二次方程${x^2} - 2ax + 10x + 2{a^2} - 4a - 2 = 0$有实根，求其两根之积的最小值是（ ）
（A）
-4
（B）
-3
（C）
-2
（D）
-1
（E）
-6
答案：A
解析：基本公式法 方程有实根，$\Delta = {b^2} - 4ac \ge 0$ 即：${\left( {10 - 2a} \right)^2} - 4\left( {2{a^2} - 4a - 2} \right) \ge 0$ $\;{a^2} + 6a - 24 \le 0$ $\left( {a - 3} \right)\left( {a + a} \right) \le 0$ ∴$ - 9 \le a \le 3$ ${x_1}{x_2} = 2{a^2} - 4a - 2$$ = 2{\left( {a - 1} \right)^2} - 4$ ∴当a=1时，取最小值-4 ∴选A
