单项选择题
1. 某培训班有学员96人，其中男生占全班人数的$\frac{7}{{12}}$，女生中有15%是30岁和30岁以上的，则女生中不到30岁的人数是（ ）
（A）
30人
（B）
31人
（C）
32人
（D）
33人
（E）
34人
答案：E
解析：基本公式法 女生总数为：$96 \times \left( {1 - \frac{7}{{12}}} \right) = 40$人 不到30岁：$40 \times \left( {1 - 15{\rm{\% }}} \right) = 34$人 ∴选E
2. 某工厂人员由技术人员、行政人员和工人组成，共有男职工420人，是女职工的 $1\frac{1}{3}$倍，其中行政人员占全体职工的20%，技术人员比工人少$\frac{1}{{25}}$ ，那么该工厂有工人（ ）
（A）
200人
（B）
250人
（C）
300人
（D）
350人
（E）
400人
答案：C
解析：基本公式法 男职工420人，女职工为$\frac{{420}}{{\frac{4}{3}}} = 315$人 技术与工人总计：（420+315）×（1-20%）=588人 技术比工人少$\frac{1}{{25}}$，∴技术与工人之比为24:25 ∴工人占$\frac{{25}}{{49}}$∴工人为：$588 \times \frac{{25}}{{49}} = 300$人 ∴选C
3. 已知$\left| {\frac{{5x - 3}}{{2x + 5}}} \right| = \frac{{3 - 5x}}{{2x + 5}}$，则实数x的取值范围是（ ）
（A）
$x < - \frac{5}{2}$或$x \ge \frac{3}{5}$
（B）
$\frac{{{\rm{ - }}5}}{2} \le x \le \frac{3}{5}$
（C）
$\frac{{{\rm{ - }}5}}{2} < x \le \frac{3}{5}$
（D）
$\frac{{{\rm{ - }}3}}{5} \le x \le \frac{5}{2}$
（E）
以上结论均不正确
答案：C
解析：基本公式法 $\frac{{5x - 3}}{{2x + 5}}$与$\frac{{3 - 5x}}{{2x + 5}}$互为相反数 ∴$\frac{{5x - 3}}{{2x + 5}} \le 0$ 可得：$ - \frac{5}{2} < x \le \frac{3}{5}$ ∴选C
4. 数列$\{ {a_n}\} $的前n项和是${S_n} = 4{n^2} + n - 2$,则它的通项${a_n}$是（ ）
（A）
8n-3
（B）
4n+1
（C）
8n-2
（D）
8n-5
（E）
${a_n} = \left\langle {_{8n - 3,n \ge 2}^{{a_1} = 3,n = 1}} \right.$
答案：E
解析：基本公式法 ${S_n} = 4{n^2} + n - 2\;,{S_{n - 1}} = 4{\left( {n - 1} \right)^2} + \left( {n - 1} \right) - 2 = 4{n^2} - 7n + 1$, ∴${a_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = 8n - 3\;\;\left( {n \ge 2} \right)$ 当n=1时，${a_1} = {S_1} = 4 + 1 - 2 = 3$ ∴${a_n} = \left\langle {_{8n - 3,n \ge 2}^{{a_1} = 3,n = 1}} \right.$ ∴选E 特值代入法 当n=1时${a_1} = {S_1} = 4 + 1 - 2 = 3$ 当n=2时，${S_2} = 4 \times 4 + 2 - 2 = 16$ ∴${a_2} = 13$ 把n=1，n=2代入选项验证，只能选E
5. 已知某厂生产 x件产品的成本为$C = 25000 + 200x + \frac{1}{{40}}{x^2}$（元），若产品以每件500元售出，则使利润最大的产量是（ ）
（A）
2000件
（B）
3000件
（C）
4000件
（D）
5000件
（E）
6000件
答案：E
解析：基本公式法 利润=销售额-成本=$500x - (25000 + 200x + \frac{1}{{40}}{x^2}) = - \frac{1}{{40}}{x^2} + 300x - 25000$（开口向下，有最大值） 当且仅当$x = - \frac{{300}}{{2\left( { - \frac{1}{{40}}} \right)}} = 6000$时，利润最大 $\therefore $选E
6. 甲、乙、丙依次轮流投掷一枚均匀的硬币，若先投出正面者为胜，则甲、乙、丙获胜的概率分别为（ ）
（A）
$\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}$
（B）
$\frac{4}{8},\frac{2}{8},\frac{1}{8}$
（C）
$\frac{4}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$
（D）
$\frac{4}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7}$
（E）
以上结论均不正确
答案：D
解析：基本公式法 第一轮：甲胜，即甲第一次投正面，$P = \frac{1}{2}$ 乙胜，即甲第一次反面，乙第一次正面，$P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 丙胜，即甲第一次反面，乙第一次反面，丙第一次正面，$P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ 观察可得：乙胜的概率是甲胜的概率的$\frac{1}{2}$，丙胜的概率是乙胜的概率的$\frac{1}{2}$ ∴甲、乙、丙获胜概率比为4:2:1 ∴甲胜概率为$\frac{4}{7}$，乙胜概率为$\frac{2}{7}$，丙胜概率为$\frac{1}{7}$ ∴选D
7. 某城区2001年绿地面积较上年增加了20%，人口却负增长，结果人均绿地面积比上年增长了21%。 （1）2001年人口较上年下降了8.26‰ （2）2001年人口较上年下降了10‰
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分。
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分。
（C）
条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分。
（E）
条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
答案：A
解析：基本公式法 设2000年绿地面积为m，人口为n 对于（1）人口下降8.26‰ ∴人均绿地为：$\dfrac {m\left( 1+20\% \right) } {n\left( \begin{matrix} -\\ 1-826‰\end{matrix} \right) }$=$\frac{{1.2m}}{{0.99174n}} = 1.21\frac{m}{n}$ 成立 ∴选A
8. 不等式${\rm{(k}} + {\rm{3)}}{x^2} - 2(k + 3)x + k - 1 < 0$，对x的任意数值都成立 （1）k=0 （2）k=-3
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分。
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分。
（C）
条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分。
（E）
条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
答案：B
解析：基本公式法 对于（1）k=0时，$3{x^2} - 6x - 1 < 0$，开口向上，不可能恒小于0 对于（2）k=-3时，-4<0，恒成立 ∴选B 注：二次函数恒小于0，必须满足开口向下，$\Delta < 0$ 二次函数恒大于0，必须满足开口向上，$\Delta < 0$
9. 可以确定$\frac{{\left| {x + y} \right|}}{{x - y}} = 2$ （1）$\frac{x}{y} = 3$ （2）$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分。
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分。
（C）
条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分。
（E）
条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
答案：E
解析：基本公式法 $\left| {x + y} \right|$为正，$\frac{{\left| {x + y} \right|}}{{x - y}} = 2$，∴x-y必须为正 对于（1）$\frac{x}{y} = 3$,（2）$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$ 不能保证x-y为正 ∴选E
10. 数列{an}的前k项和是${a_1} + {a_2} + ....{a_k}$与随后k项和${a_{k + 1}} + {a_{{\rm{k}} + 2}} + ....{a_{2k}}$ 之比与k无关。 （1）${a_n} = 2n - 1(n = 1,2....)$ （2）${a_n} = 2n(n = 1,2....)$
（A）
条件（1）充分，但条件（2）不充分。
（B）
条件（2）充分，但条件（1）不充分。
（C）
条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
（D）
条件（1）充分，条件（2）也充分。
（E）
条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
答案：A
解析：基本公式法 对于（1）${a_n} = 2n - 1$,首项为1，公差为2的等差数列 ∴${a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} = {S_k} = \frac{{k\left( {1 + 2k - 1} \right)}}{2} = {k^2}$, ${a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} + \ldots + {a_{2k}} = {S_{2k}} - {S_k} = {\left( {2k} \right)^2} - {k^2} = 3{k^2}$ ∴$\frac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k}}}{{{a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} + \ldots + {a_{2k}}}} = \frac{{{k^2}}}{{3{k^2}}} = \frac{1}{3}$成立 对于（2）${a_n} = 2n$，首项为2，公差为2的等差 ∴${a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} = {S_k} = \frac{{\left( {2 + 2k} \right)k}}{2} = k\left( {k + 1} \right)$ ${a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} + \ldots + {a_{2k}} = {S_{2k}} - {S_k} = 2k\left( {2k + 1} \right) - k\left( {k + 1} \right) = 3{k^2} + k = k\left( {3k + 1} \right)$ ∴$\frac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k}}}{{{a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} + \ldots + {a_{2k}}}} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{{k\left( {3k + 1} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{3k + 1}}$,与k相关 ∴选A
